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BSTS侦测时间序列变化点 - 知乎

BSTS侦测时间序列变化点 - 知乎切换模式写文章登录/注册BSTS侦测时间序列变化点栗子码农INFERRING CAUSAL IMPACT USING BAYESIAN STRUCTURAL TIME-SERIES MODELS1.介绍推断市场干预行为的因果影响。扩展了广泛使用的difference-in-differences方法,明确建模了干预前后的时间序列的反常表现。构建合适的合成控制序列,有三个信息来源:1)变化点之前的响应变量时间序列;2)其他未受干预的序列3)先验知识。我们用状态空间时间序列模型把三个信息源组合起来。我们的框架允许从大量可选的控制集合去选择,利用spike-and-slab先验处理回归参数;以及允许在控制集合上取均值【George & McCulloch 97】。2.贝叶斯结构化时间序列模型所谓结构化时间序列,就是状态空间模型。定义为:这里的,以及,独立于其他未知变量。公式2.1称为观测方程,把观测数据与一个d维的隐状态向量连接起来。公式2.2称为状态方程,它控制状态向量随时间的发展。是标量。 是d维输出向量。 是转移矩阵 是控制矩阵 离散的观测误差,噪音标准差为 是q维系统误差,附带一个的状态传播矩阵,这里qBSTS贝叶斯结构时间序列模型(Bayesian Structural Time Series) - 经管代码库 - 经管之家(原人大经济论坛)

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BSTS贝叶斯结构时间序列模型(Bayesian Structural Time Series)

一、引言——“胖”回归下变量选择+即时预测    人们判断影响变量都是通过自己的主观看法,但是主观看法下,就会出现"fat regression"问题(变量极多,但是观测值不够),下面BSTS方法就是针对这一问题提出使用的。

    当预测变量比观测变量还要多的时候,当在短期时间序列预测过程中,我们的方法是结合三种贝叶斯方法:卡尔曼滤波法、spike-and-slab回归、模型平均。

    Choi and Varian展示了如何应用搜索引擎的数据进行宏观经济指标的预测,这种即时预测的方式,非常得中央银行的喜欢,并进行了很多相关研究。Arola and Galan [2012], McLaren and Shanbhoge [2011], Hellerstein and Middeldorp [2012],Suhoy [2009], Carri`ere-Swallow and Labb′e [2011]. Choi and Varian [2012] 就进行了相关的研究。

二、变量选择问题

    Castle et al. [2009, 2010] 描绘了21中变量选择的技术,时间序列的预测重要归类为四种方法:显著性检验(向前、向后逐步回归法);信息准则(AIC BIC);主成分因子分析模型;lasso 岭回归和其他惩罚性模型。

三、BSTS模型的子模型族

    1、BSTS是一个模型集合体,BSTS结合了三种统计方法进一个集体系统中(两个部分:趋势部分+回归部分)。    a、用基础的状态空间结构模型做趋势和季节拟合(模型的趋势部分),卡尔曼滤波用来估计先验p的分布;    b、用spike-slab 回归做变量选择(模型的回归部分);    c、用贝叶斯模型平均法(Bayesian model averaging)做预测;    d、估计方法,用MCMC模拟后验分布生成的样本集,来进行估计。

    2、状态空间时间序列与卡尔曼滤波法    很多下述学者应用了卡尔曼滤波法对时间序列数据进行预测,空间状态结构模型将时间序列进行划分,成水平项,常规趋势,季节效应和误差项。这个模型是一个泛随机化的模型,这个模型加入了季节效应的作为一个回归组成。     卡尔曼滤波法是很好的估计状态空间模型的方法,他能够计算p(x/x)预测分布滤波与平滑是常见的空间状态模型的计算步骤

    3、spike-and-slab回归部分    George and McCulloch[1997]) and Madigan and Raftery [1994].论文研究了spike-slab对于变量的选择。    spike-and-slab在回归估计之前的变量稀疏问题,这个系统从庞大的模型集中寻找有贡献的模型,我们用他来进行即期预测,但这一方法可以用在很多短期预测

    4、贝叶斯模型平均法     5、模型的估计

    Scott and Varian【2012】,用MCMC技术通过后验分布来生成模拟样本这些技术生成了参数后验分布的样本集,这些样本集可以作为预测用。

    四、结果分析

    1、后验包含分布     等式8强加给系数为0的变量一个正向概率(与概率密度不同)(给系数施加一个密度约束条件的方程),因此这个等式是全后验分布的一个共同特征,并不是简单的模型中的值。    这个的全概率无法计算,但是边缘包含概率可以被蒙特卡罗模拟的样本估计出来。

    2、initial claims data模型后验分布     在最初数据中对状态的贡献。图4.5是每一个时点潜在状态的动态后验分布    图4代表联合状态,代表没有数据噪声下序列的平稳值。    图5代表,每一个组成部分地贡献(脉冲图类似)。图5是一个最初变量被趋势、季节和回归部分所解释的多少。趋势部分两次触底,但是季节和回归部分,展示了更显著的变化。黑色实线是状态均值,1%的中值置信是浅颜色的,一直到99%置信,颜色逐渐变淡。

    3、预测误差图    可以看到前期预测的效果不是很好,波动幅度很大,所以造成前期预测误差。后期预测误差趋于稳定,直到很小。

    4、y的增量图     增量显示图,季节,趋势,某两个个体的趋势图下面还有误差的图。    消费者信心使用趋势预测数据的分解,MAE是平均绝对误差,这个与随机森林变量选择中的(重要性评分)原理相同,越大越好。

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发表于 2015-8-8 22:22:55

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研究的好深啊,以前只知道Matlab来完成卡尔曼滤波法,好帖,感谢分享。

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发表于 2015-8-8 22:27:56

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发表于 2015-8-8 22:46:43

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liuzhen123123 发表于 2015-8-8 22:27

支持!如果再配上code就更好了!  有需要可以单独法,code,太长了

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发表于 2015-8-9 14:55:35

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我的素质低 发表于 2015-8-8 22:46

有需要可以单独法,code,太长了求code,谢谢,麻烦你了,408813997@qq.com

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发表于 2015-8-9 22:05:34

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苏格拉底大王

2013-12-14 10:39:55

这是google的两个数据科学家的工作,主要是为了解决多变量时间序列分析中的变量筛选问题。we call Bayesian Structural Time Series (BSTS) that seems to work well for variable selection problems in time series applications.具体做法可以看Scott和Varian的两篇论文。We offer a very brief description here; more details are available inScott and Varian [2012a,b].思路如下:首先按照时间序列分解的思路将时间序列看成三部分的组合,即常数u、趋势t、和其它影响因素x。如此,时间序列可以表述为:yt = u + b*t + beta*x + e:进步一步分解为:                                                                                                由此,可以估计回归系数beta和残差e。由此,可以构造优化的卡尔曼预测(optimal Kalman forecast)。从后验概率分布中选取预测能力最强的时间序列。效果图如下:                                                BSTS                                                更新:一年之后, Scott将上面的这些想法写成一个R包,发布在cran上:bsts_0.5.1.tar.gz 27-Jun-2014 13:56 114K bsts_0.6.0.tar.gz 03-Dec-2014 17:02 116K bsts_0.6.1.tar.gz 05-Dec-2014 01:22 116K https://cran.r-project.org/web/packages/bsts/index.html另外,在作者的谷歌个人站点,Scott还维护了一个bsts的课程资料:https://sites.google.com/site/stevethebayesian/googlepageforstevenlscott/course-and-seminar-materials/bsts-bayesian-structural-time-series所以,现在可以直接使用这个R包了。## Example 6: Including regressorslibrary(bsts)data(iclaims)ss <- AddLocalLinearTrend(list(), initial.claims$iclaimsNSA)ss <- AddSeasonal(ss, initial.claims$iclaimsNSA, nseasons = 52)model <- bsts(iclaimsNSA ~ ., state.specification = ss, data =                initial.claims, niter = 1000)plot(model)                                                                                                plot(model, "components")                                                                                                plot(model, "coefficients")                                                                                                plot(model, "predictors")                                                                                                使用我自己的收集的一个数据来做逐步递增的模型:                                                why we tweet about us election                                                关于模型的总体情况,主要反映的是回归部分的效果,例如:> ?summary.lm.spike> summary(model, burn = 0)$residual.sd[1] 0.2121491$prediction.sd[1] 0.2767504$rsquare[1] 0.8909681$relative.gof[1] 0.6482318$size   Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.   0.000 2.000 3.000 2.746 3.000 4.000 $coefficients                    mean sd mean.inc sd.inc inc.probnews 0.332497280 0.07541234 0.33653571 0.06630017 0.988query 1.076958052 0.21219863 1.10005930 0.14337502 0.979poll -1.076729016 0.78528349 -1.47497126 0.50681842 0.730sent 0.004495306 0.02895581 0.09174094 0.09632891 0.049(Intercept) 0.000000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.000coefficients A five-column matrix with rows representing model coefficients. The first two columns are the posterior mean and standard deviation of each coefficient, including the point mass at zero. The next two columns are the posterior mean and standard deviations conditional on the coefficient being nonzero. The last column is the probability of a nonzero coefficient.residual.sd A summary of the posterior distribution of the residual standard deviation parameter.rsquare A summary of the posterior distribution of the R^2 statistic: 1 - residual.sd^2 / var(y)计算方法:Spike and slab regression这是一种贝叶斯技术的方法,回归过程:a、首先,所有变量都拥有同等被回归估计的可能性;b、我们根据回归系数,建立分布(零均值,spike是非零系数的可能性;大方差,系数的先验分布);c、系数先验分布+系数的条件分布,将两者与同后验概率结合;d、通过蒙特卡洛技术重复拟合分布,最后得到变量、变量系数、Y的分布的总结表。library(BoomSpikeSlab)#Title: MCMC for Spike and Slab Regression#Author: Steven L. Scott n <- 100p <- 10ngood <- 3niter <- 1000sigma <- .8x <- cbind(1, matrix(rnorm(n * (p-1)), nrow=n))beta <- c(rnorm(ngood), rep(0, p - ngood))y <- rnorm(n, x %*% beta, sigma)x <- x[,-1]model <- lm.spike(y ~ x, niter=niter)plot.ts(model$beta)opar <- par(ask=TRUE)on.exit(par(opar))hist(model$sigma) ## should be near 8plot(model)summary(model)因果影响故事到这里,并没有结束。在2015年与Brodersen et al.合作的一篇基于bsts测量因果影响的一篇论文发表在Annals of Applied Statistics (2015).他们高调开放了自己的代码在github上。http://google.github.io/CausalImpact/CausalImpact.htmlhttp://static.googleusercontent.com/media/research.google.com/en//pubs/archive/41854.pdfinstall.packages("devtools")library(devtools)devtools::install_github("google/CausalImpact")library(CausalImpact)                                                                                                参考文献Steve Scott and Hal Varian. Bayesian variable selection for nowcastingeconomic time series. Technical report, Google, 2012a. URL http://www.ischool.berkeley.edu/~hal/Papers/2012/fat.pdfSteve Scott and Hal Varian. Predicting the present with Bayesian structuraltime series. Technical report, Google, 2012b. URL http://www.ischool.berkeley.edu/~hal/Papers/2013/pred-present-with-bsts.pdf

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x��XK��F��Wx鈛a� uAT-���$�&��v����gv��77�U���qf�<��

V~��:�<~�� F��2�/�1b\!H�8�g��������/��Q2��9�ci�,CURd��M ���h]nt���� �O>�O�N q@��d$c,H��O_p�����b�Y�m����3o���?����V$J�"���@

��P����*��N���&!}�%� `�Q��N��'āDqĔ!�H)b"{��Q��m�H=�_ƞ�H�:�gL��s�����k5sTр'���"�G.b���4�w0�I�

��OF�V+�x}4"����F�����p�Q*��^�X��w�X��2%�af��d��_�7�6/���1�r��Y��6\�}L,��=�'��qd]�s�$0`7 ��XI

�:��E�w�48֔

�*)B����y{���u���(�0L�~ D%�M�ug}�y��Ƒ�����1��.�-?�[����=�% ������$��{N�ML��}t�����n~�W� ��� ���Q�琔��{��I/}v�3vP����Eu�a2���kđ,�����l��؍OlE6#.�a2���C����\?�/��8��Z̥$�=�%����u���~�53U�Id�C�C����r��V�'�+5?B��KK�[7![2-uꃾ��d?�x���f

�9�X ���a��Ӏ�Oý6�m��y∴֫m�n+mr�%t�-� '��l? �mLHjT�y�S33�"7n�HP��������rdWJ���q��O+S��v���y̸P�p_��Yq؉ �����!��H��u�Fm�*k���

&ì�7���˝��>�VF.[~����ߺ�M�g7n��X�oo��1wz�C���मAs:�t��Y'�D��`�n�_۲����֌TX �گ�nm�lkᤃܐx��y,��oS"�� �6������X��m-b��"f�W�8ޗ�П��v�L��ҕ��#f�ʫ�~`�Jӌ�Nӌ�q'0D�8��D�p�̣�>�(�q��h�n�m��� h^��E۬ӊ�ᛱ�ϥ�T��3z��=�tf��-�g��j�|�t���

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��R��@�l��i�]�%Uֺ*C*>Jy`8p�o����I�x�ߚ�5�R��z��/�

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�~�p�[(�<��l � oz!���qUr�z�66���cί�!ɒk���`�e��{���l��(��#��� a����p����v7��'XpY��v79�����B�#��՞�~"��0\�]! �섃�^��3-�#�H�B��(�.�z4�� �@M.�r'���] ��q-#��8Q��\o1LI� _�.|dAFX̝� �z�uJb��S�d�� � �lB��˘��rR��맠lN�d�b����1ӯ�+E�+�K��Ⱥ���|[���N)����t$"�׃s�9-&�@�h�����; 祎v��c���������a��7o��mi��$�2�LL��@�.l*0�1��E��)�/B�ߵ�����7�¶�Oy�1v\3n���"���w����@�6��7�C�)��;m��n��

�J,�ak���gꔰ )�@�:�h�`���ٮ~;s�N+�< aAp�qF��~�+��h���t ��m����"̴5o��H����A�W��}���(��3F��U!E7�ͯ|��ec�_nÀ�ׄ��Y�

U 2n6�ta�S3Y/��Two��i�X�������r����%0 N���"�t,�a��R?��`� k���{8�:w�d�)��c��S;��c �!I�lJ ��$L�JP�t�d���� ꭷ)�9"_�v�����Ǫ47n�Y��*sȟ�v�#�#�0�9���W/9�c\��b�<�(�俭~�D���RC�8 A�>�τ�C�v�{�"�8�����YQ9�$����7�_rhɸz}�� 0���dFynFtq�e���Pi�Q _�|Τl��-��:�\�$oJ��!�#�}kN>�[�+�D�gԠŽ�s�^������7z��

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�y ��@7 n�� P|Թ��y�J��Au�oD��j���o�_Հ<��Q)~�U����{ ���f� �0�amW�r�^<[�X�kщf}QBHֹ�~N��Y*SO�m�+�?ם/������<���� ^IW�C�)�m���~;�r3��i�E�Go�|Iң'�1�4gK1����~���Mb���>�PtA̘N������Gf�ȼ�2� �'u7��0T3�A���o����a�9���>����i�FO�pe5��:c�p�5ER�z#�U^�B�4-����5�u�Fd��tAkҀ�G���B�=��# �p�Y���S:��l�o@��M��N��ϙ�Y���.�2�T B�z0)X�K�Z���K3M�ņX짡�V�'�_��e%� X�IAE>��օ2� ;�,^K��hX�t�0���<�r�~}�)7}�;�iz�6�y g>���

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第六章: 时间序列 — Bayesian Modeling and Computation in Python

第六章: 时间序列 — Bayesian Modeling and Computation in Python

Bayesian Modeling and Computation in Python

贡献

序言

前言

符号表

第一章:贝叶斯推断

第二章:贝叶斯模型的探索性分析

第三章:线性模型与概率编程语言

第四章:扩展线性模型

第五章: 样条

第六章: 时间序列

第七章:贝叶斯加性回归树

第八章:近似贝叶斯计算

第九章: 端到端的贝叶斯工作流

第十章: 概率编程语言

第十一章:附加主题

词汇表

参考文献

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Contents

6.1 时间序列问题概览

6.2 将时间序列视为回归问题

6.2.1 简单线性回归模型

6.2.2 时间序列的设计矩阵

6.2.3 基函数和广义可加模型

6.3 自回归模型

6.3.1 基础的自回归模型

6.3.2 隐自回归过程和平滑

6.3.3 移动平均自回归 (S)AR(I)MA(X)

6.4 状态空间模型

6.4.1 线性高斯状态空间模型与卡尔曼滤波

6.4.2 ARIMA 模型的状态空间表示

6.4.3 贝叶斯结构化的时间序列

6.5 其他时间序列模型

6.6 时间序列模型的评判和先验选择

6.6.1 时间序列模型的评估

6.6.2 时间序列模型的先验

习题

参考文献

第六章: 时间序列

Contents

6.1 时间序列问题概览

6.2 将时间序列视为回归问题

6.2.1 简单线性回归模型

6.2.2 时间序列的设计矩阵

6.2.3 基函数和广义可加模型

6.3 自回归模型

6.3.1 基础的自回归模型

6.3.2 隐自回归过程和平滑

6.3.3 移动平均自回归 (S)AR(I)MA(X)

6.4 状态空间模型

6.4.1 线性高斯状态空间模型与卡尔曼滤波

6.4.2 ARIMA 模型的状态空间表示

6.4.3 贝叶斯结构化的时间序列

6.5 其他时间序列模型

6.6 时间序列模型的评判和先验选择

6.6.1 时间序列模型的评估

6.6.2 时间序列模型的先验

习题

参考文献

第六章: 时间序列¶

“很难做出预测,尤其是关于未来的预测”。

据称,荷兰政治家 Karl Kristian Steincke 在 \(1940\) 年代的某个时候说过的这句话 1 。确实如此,即便今天仍然成立,特别是你在研究时间序列问题和预报问题的时候。

时间序列分析有很多应用,从面向未来的预报、到了解历史趋势中的潜在因子等。在本章中,我们将讨论涉及此问题域的一些贝叶斯方法。

首先,我们会将时间序列建模视为一个回归问题,从时间戳信息中解析得到设计矩阵。

然后,我们会探索使用自回归(Autoregressive)方法对时间相关性进行建模。

将上述模型进一步扩展,可以得到更具一般性的状态空间模型( State Space Model ) 和 贝叶斯结构化时间序列模型( Bayesian Structural Time Series model, BSTS ) ,我们将在线性高斯假设下,引入一种专门的推断方法:卡尔曼滤波器。

本章其余部分简要介绍了时间序列的模型比较问题,以及建模时选择先验需要考虑的因素。

6.1 时间序列问题概览¶

在大量现实生活的应用中,人们会按时间顺序观测数据,每次观测时都会生成时间戳。除了观测本身之外,时间戳信息在以下情况中可以提供相当丰富的信息:

存在一个时间趋势,例如地区人口、全球 GDP 、美国的年二氧化碳排放量等。通常这是一种整体模式,可以直观地将其标记为“增长”或“下降”。

有一些与时间相关的循环模式,称为季节性( seasonality ) 2。例如,

每月 温度的变化(夏季较高,冬季较低);

每月 降雨量(在世界大多数地区,冬季较低,夏季较高);

指定办公楼的 每日 咖啡消耗量(平日较高,周末减少);

每小时 的自行车租赁数量(白天比晚上多)。

当前数据点以某种方式提供了有关下一个数据点的信息。换句话说,**噪声( Noise )或残差( Residuals )**是相关的 3。例如,

服务台的每日结案数量;

股票的每日价格;

每小时的温度;

每小时的降雨量等。

根据上述分析,可以考虑将时间序列分解为:

(46)¶\[y_t = \text{Trend}_t + \text{Seasonality}_t + \text{Residuals}_t\]

大多数经典的时间序列模型都是基于此分解。在本章中,我们将讨论呈现出某种程度 时间趋势 和 季节性 的时间序列建模方法,并探索其中捕获 规则模式 和 弱规则模式 的方法。

6.2 将时间序列视为回归问题¶

我们将首先在一个演示数据集上,用 线性回归模型 对时间序列建模。该数据集在著名的《机器学习中的高斯过程》Rasmussen and Williams [52]一书中被用作案例。

6.2.1 简单线性回归模型¶

自 \(1950\) 年代后期以来,夏威夷的莫纳罗亚天文台每隔一小时就测定一次大气二氧化碳浓度。在许多示例中,该观测结果被汇总为月均值,如 Fig. 100 所示。我们使用代码 load_co2_data 将数据加载到 Python 中,然后将数据集拆分为训练集和测试集,并使用训练集拟合模型,用测试集来评估模型的预测性能。

Fig. 100 从 \(1966\) 年 \(1\) 月到 \(2019\) 年 \(2\) 月,莫纳罗亚的 \(\text{CO}_2\) 月测量值,分为训练集(黑色显示)和测试集(蓝色显示)。我们可以在数据中看到强劲的上升趋势和季节性模式。¶

Listing 73 load_co2_data¶

co2_by_month = pd.read_csv("../data/monthly_mauna_loa_co2.csv")

co2_by_month["date_month"] = pd.to_datetime(co2_by_month["date_month"])

co2_by_month["CO2"] = co2_by_month["CO2"].astype(np.float32)

co2_by_month.set_index("date_month", drop=True, inplace=True)

num_forecast_steps = 12 * 10 # Forecast the final ten years, given previous data

co2_by_month_training_data = co2_by_month[:-num_forecast_steps]

co2_by_month_testing_data = co2_by_month[-num_forecast_steps:]

在这里,我们有一个每月大气 \(\text{CO}_2\) 浓度 \(y_t\) 的观测向量,其中 \(t = [0, \dots, 636]\) ;其中每个元素与一个月时间戳相关联。一年中的月份可以解析为 \([1, 2, 3,\dots, 12, 1, 2,\dots]\) 的向量。对于线性回归,可以将似然函数表述如下:

(47)¶\[Y \sim \mathcal{N}(\mathbf{X} \beta, \sigma)\]

考虑到季节性的影响,我们使用年预测变量的月份来索引回归系数的向量。代码 generate_design_matrix 利用独热编码将预测变量转换为 shape = (637, 12) 的设计矩阵。在该设计矩阵基础上,增加一个线性预测变量,以捕获数据中的上升趋势,进而得到整个时间序列的设计矩阵。

你可以在 Fig. 101 中看到设计矩阵的子集。

Fig. 101 为时间序列的简单回归模型提供的具有线性分量和每年各月份分量的设计矩阵。注意,真实的设计矩阵被转置成 \(feature * timestamps\) ,以便更易于可视化。图中第一行(索引 \(0\))为 \(0\) 到 \(1\) 之间的连续值,表示时间的线性增长因子。其余行(索引 \(1 - 12\) )为月份信息的独热编码,黑色代表 \(1\) ,浅灰色代表 \(0\) 。¶

Listing 74 生成设计矩阵¶

trend_all = np.linspace(0., 1., len(co2_by_month))[..., None]

trend_all = trend_all.astype(np.float32)

trend = trend_all[:-num_forecast_steps, :]

seasonality_all = pd.get_dummies(

co2_by_month.index.month).values.astype(np.float32)

seasonality = seasonality_all[:-num_forecast_steps, :]

_, ax = plt.subplots(figsize=(10, 4))

X_subset = np.concatenate([trend, seasonality], axis=-1)[-50:]

ax.imshow(X_subset.T)

解析到设计矩阵的时间戳

时间戳的处理很乏味,并且容易出错,尤其是在涉及不同时区的时候。我们可以从时间戳中解析出的典型周期性信息包括(按解析顺序排列):

小时的秒数 (1, 2, …, 60)

一天中的小时(1、2、…、24)

星期几(周一、周二、…、周日)

一个月中的某天(1、2、…、31)

一年中的月份(1、2、…、12)

节日效应(元旦、复活节、国际劳动节、圣诞节等)

所有上述信息都可以用独热编码解析为一个设计矩阵。

类似于 “一周中的某天” 和 “一个月中的某天” 等时间戳的效应通常与人类活动密切相关。例如,

公共交通乘客的数量通常表现出强烈的工作日效应;

发薪日之后,消费者支出可能会更高,这通常是在月底左右。

在本章中,我们主要考虑定期记录的时间戳。

我们现在可以使用 tfd.JointDistributionCoroutine 建立第一个面向回归问题的时间序列模型,其作法和 第 3 章 中介绍的 tfd.JointDistributionCoroutine API 和 TFP 贝叶斯建模方法相同。

Listing 75 regression_model_for_timeseries¶

tfd = tfp.distributions

root = tfd.JointDistributionCoroutine.Root

@tfd.JointDistributionCoroutine

def ts_regression_model():

intercept = yield root(tfd.Normal(0., 100., name="intercept"))

trend_coeff = yield root(tfd.Normal(0., 10., name="trend_coeff"))

seasonality_coeff = yield root(

tfd.Sample(tfd.Normal(0., 1.),

sample_shape=seasonality.shape[-1],

name="seasonality_coeff"))

noise = yield root(tfd.HalfCauchy(loc=0., scale=5., name="noise_sigma"))

y_hat = (intercept[..., None] +

tf.einsum("ij,...->...i", trend, trend_coeff) +

tf.einsum("ij,...j->...i", seasonality, seasonality_coeff))

observed = yield tfd.Independent(

tfd.Normal(y_hat, noise[..., None]),

reinterpreted_batch_ndims=1,

name="observed")

正如在前面章节中提到的,与 PYMC3 相比,TFP 提供了较低级别的 API 。虽然与低级模块和组件交互更灵活,但与其他概率编程语言相比,也需要更多代码,并且需要在模型中进行额外的 shape 形状处理。例如,在代码 regression_model_for_timeseries 中,我们使用 einsum 而不是 matmul 以便代码能够处理任意的 批形状(详情参阅 10.8.1 PPL 中的形状处理 )。

代码 regression_model_for_timeseries 提供了回归模型 ts_regression_model。它具有和 tfd.Distribution 类似的功能,要抽取先验和先验预测样本,我们可以调用 .sample(.) 方法,参见代码 prior_predictive,其结果显示在 Fig. 102 中。

Listing 76 prior_predictive¶

# Draw 100 prior and prior predictive samples

prior_samples = ts_regression_model.sample(100)

prior_predictive_timeseries = prior_samples.observed

fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 5))

ax.plot(co2_by_month.index[:-num_forecast_steps],

tf.transpose(prior_predictive_timeseries), alpha=.5)

ax.set_xlabel("Year")

fig.autofmt_xdate()

Fig. 102 来自简单回归模型的先验预测样本,用于模拟莫纳罗亚时间序列中的月 \(\text{CO}_2\) 测量值。每条线是一个模拟的时间序列。由于使用了无信息先验,导致先验预测的结果分布范围很宽泛。¶

在代码 inference_of_regression_model 中,我们运行了该回归模型的推断,并将结果格式化为 az.InferenceData 对象,以便做进一步的诊断。

Listing 77 inference_of_regression_model¶

run_mcmc = tf.function(

tfp.experimental.mcmc.windowed_adaptive_nuts,

autograph=False, jit_compile=True)

mcmc_samples, sampler_stats = run_mcmc(

1000, ts_regression_model, n_chains=4, num_adaptation_steps=1000,

observed=co2_by_month_training_data["CO2"].values[None, ...])

regression_idata = az.from_dict(

posterior={

# TFP mcmc returns (num_samples, num_chains, ...), we swap

# the first and second axis below for each RV so the shape

# is what ArviZ expects.

k:np.swapaxes(v.numpy(), 1, 0)

for k, v in mcmc_samples._asdict().items()},

sample_stats={

k:np.swapaxes(sampler_stats[k], 1, 0)

for k in ["target_log_prob", "diverging", "accept_ratio", "n_steps"]})

如果要依据推断结果来抽取后验预测样本,可以使用 .sample_distributions 方法先抽取后验样本,然后基于后验样本的条件化生成后验预测样本。本例中,我们还希望能够为时间序列中的 趋势性 和 季节性 分量分别抽取后验预测样本。为了可视化模型的预测能力,我们在代码 posterior_predictive_with_component 中生成了后验预测分布,结果显示在 趋势性 和 季节性 分量的后验预测分布图 Fig. 103 中,以及整体模型拟合和后验预测分布 Fig. 104 。

Listing 78 posterior_predictive_with_component¶

# We can draw posterior predictive sample with jd.sample_distributions()

# But since we want to also plot the posterior predictive distribution for

# each components, conditioned on both training and testing data, we

# construct the posterior predictive distribution as below:

nchains = regression_idata.posterior.dims["chain"]

trend_posterior = mcmc_samples.intercept + \

tf.einsum("ij,...->i...", trend_all, mcmc_samples.trend_coeff)

seasonality_posterior = tf.einsum(

"ij,...j->i...", seasonality_all, mcmc_samples.seasonality_coeff)

y_hat = trend_posterior + seasonality_posterior

posterior_predictive_dist = tfd.Normal(y_hat, mcmc_samples.noise_sigma)

posterior_predictive_samples = posterior_predictive_dist.sample()

Fig. 103 时间序列回归模型的趋势性分量和季节性分量的后验预测样本。¶

Fig. 104 时间序列简单回归模型的后验预测样本(灰色),实际数据为黑色和蓝色。虽然训练集的整体拟合(绘制为黑色)是合理的,但预测结果(样本外预测)很差,因为数据中隐含的加速趋势超出了线性关系。¶

查看 Fig. 104 中的样本外预测,我们注意到:

当对未来预测时,线性趋势表现不佳,给出的预测始终低于实际观测值。具体来说,大气中的二氧化碳不会以恒定的斜率线性增加 4

不确定性的范围几乎是恒定的,但直觉上判断,当预测更远的未来时,似乎不确定性应当增加才对(有时也称为预测锥)。

6.2.2 时间序列的设计矩阵¶

在上面的回归模型中,使用了一个相当简单的设计矩阵。通过向设计矩阵添加额外信息,可以获得更好的模型来捕获我们对时间序列的理解。

更好的趋势性分量模型通常是提高预测性能最重要的方面,因为相对而言,季节性分量 通常 是平稳的,具有易于估计的参数 5。因此,大多数时间序列建模都包含一个能够捕获趋势中非平稳性的隐过程(Latent Process )。

一种非常成功的方法是对趋势性分量使用 局部线性过程 。基本上,它是一个在某个范围内呈线性的平滑趋势,模型中的截距和系数在可观测的时间跨度内缓慢变化或漂移。这种应用的一个典型例子是 Facebook Prophet 6,其中使用了 半平滑阶跃线性函数( Semi-smooth Step Linear Function ) 对趋势进行建模 [53] 。该模型允许斜率在某些特定断点处发生变化,进而允许我们生成比直线更好的捕获长期趋势的拟合结果。这类似于在 5.2 扩展特征空间 中讨论的指示函数的想法。在时间序列场景中,我们在公式 (48) 中以数学方式表达了此想法。

(48)¶\[g(t) = (k + \mathbf{A}\delta) t + (m + \mathbf{A} \gamma)\]

其中 \(k\) 是(全局)增长率,\(\delta\) 是每个变化点的调整率向量,\(m\) 是(全局)截距。\(\mathbf{A}\) 是一个 shape=(n_t, n_s) 的矩阵,其中 \(n_s\) 是变化点的数量。在时间 \(t\),\(\mathbf{A}\) 累积斜率的漂移效应 \(\delta\)。 \(\gamma\) 设置为 \(-s_j \times \delta_j\)(其中 \(s_j\) 是 \(n_s\) 个变化点的时间位置)以使趋势线连续。

通常为 \(\delta\) 选择一个正则化的先验,如 \(\text{Laplace}\),以表示我们不希望看到斜率发生突然的或较大的变化。你可以在代码 step_linear_function_for_trend 中查看随机生成的阶跃线性函数的示例,以及在 Fig. 105 中的分解。

Listing 79 step_linear_function_for_trend¶

n_changepoints = 8

n_tp = 500

t = np.linspace(0, 1, n_tp)

s = np.linspace(0, 1, n_changepoints + 2)[1:-1]

A = (t[:, None] > s)

k, m = 2.5, 40

delta = np.random.laplace(.1, size=n_changepoints)

growth = (k + A @ delta) * t

offset = m + A @ (-s * delta)

trend = growth + offset

Fig. 105 作为时间序列模型趋势性分量的阶跃线性函数,使用代码 step_linear_function_for_trend 生成。第一个子图是设计矩阵 \(\mathbf{A}\),其颜色编码相同,黑色代表 \(1\),浅灰色代表 \(0\)。最后一个子图是公式 (48) 中可以在时间序列模型中用作趋势的结果函数 \(g(t)\) 。中间两个子图是公式 (48) 中两个分量的分解。请注意两者是如何结合使结果趋势连续的。¶

在实践中,我们通常会先验地指定有多少变化点,因此可以静态生成 \(\mathbf{A}\)。一种常见的方法是指定比你认为时间序列实际显示的更多的变化点,并在 \(\delta\) 上放置一个更稀疏的先验以将后验调节到 0。自动变化点检测也是可能的 [54]。

6.2.3 基函数和广义可加模型¶

在代码 regression_model_for_timeseries 中定义的回归模型中,我们使用了稀疏索引矩阵对季节性分量进行建模。还有一种方法是使用基样条( 参见第 5 章 )之类的基函数,或 Facebook Prophet 模型中的傅里叶基函数。作为设计矩阵的基函数可能会提供一些很好的属性,如正交性(参见设计矩阵的数学性质),这会使数值化求解线性公式更稳定 [55]。

傅里叶基函数是正弦和余弦函数的集合,可用于逼近任意平滑的季节性效应 [56]:

(49)¶\[s(t) = \sum^N_{n=1} \left[a_n \text{cos}\left(\frac{2 \pi nt}{P} \right) + b_n \text{sin}\left(\frac{2 \pi nt}{P}\right) \right]\]

其中 \(P\) 是时间序列具有的常规周期(例如,对于年度数据,\(P = 365.25\) 或对于每周数据,当时间变量以天为单位时,\(P = 7\))。可以使用代码 fourier_basis_as_seasonality 中所示的公式静态生成它们,并在 Fig. 106 中将其可视化。

Listing 80 fourier_basis_as_seasonality¶

def gen_fourier_basis(t, p=365.25, n=3):

x = 2 * np.pi * (np.arange(n) + 1) * t[:, None] / p

return np.concatenate((np.cos(x), np.sin(x)), axis=1)

n_tp = 500

p = 12

t_monthly = np.asarray([i % p for i in range(n_tp)])

monthly_X = gen_fourier_basis(t_monthly, p=p, n=3)

Fig. 106 \(n=3\) 的傅立叶基函数。总共有 \(6\) 个预测变量,我们通过将其余的设置为半透明来突出显示第一个。¶

使用上述傅里叶基函数生成的设计矩阵拟合季节性需要估计 \(2N\) 个参数 \(\beta = [a_1, b_1, \dots , a_N , b_N]\)。

像 Facebook Prophet 这样的回归模型也被称为广义可加模型 (GAM),因为其结果变量 \(Y_t\) 线性依赖于未知的平滑基函数 7。我们之前在第 5 章中也讨论了其他 GAM。

设计矩阵的数学性质

设计矩阵的数学性质在线性最小二乘问题设置中得到了相当广泛的研究,我们想要求解 \(min \mid Y - \mathbf{X} \beta \mid ^{2}\) 的 \(\beta\)。通过检查矩阵 \(\mathbf{X}^T \mathbf{X}\) 的性质,我们通常可以了解 \(\beta\) 解的稳定程度,甚至可能得到一个解。其中一个性质是条件数,它是 \(\beta\) 的解是否容易出现较大数值误差的指示器。例如,如果设计矩阵包含高相关(多重共线性)的列,则条件数会很大,并且矩阵 \(\mathbf{X}^T \mathbf{X}\) 是病态的。类似原理也适用于贝叶斯建模。

无论你采用哪种建模方法,在分析工作流程中做深入的探索性分析都是非常有用的。基函数作为设计矩阵通常需要具备良好的条件。

用于每月二氧化碳测量结果的类 Facebook Prophet 广义可加模型见代码 gam 。我们为 k 和 m 分配了弱信息先验,以表达我们对月指标总体呈上升趋势的认知。这里得到了与实际观测非常接近的先验预测样本(参见 Fig. 107)。

Listing 81 gam¶

# Generate trend design matrix

n_changepoints = 12

n_tp = seasonality_all.shape[0]

t = np.linspace(0, 1, n_tp, dtype=np.float32)

s = np.linspace(0, max(t), n_changepoints + 2, dtype=np.float32)[1: -1]

A = (t[:, None] > s).astype(np.float32)

# Generate seasonality design matrix

# Set n=6 here so that there are 12 columns (same as `seasonality_all`)

X_pred = gen_fourier_basis(np.where(seasonality_all)[1],

p=seasonality_all.shape[-1],

n=6)

n_pred = X_pred.shape[-1]

@tfd.JointDistributionCoroutine

def gam():

beta = yield root(tfd.Sample(

tfd.Normal(0., 1.), sample_shape=n_pred, name="beta"))

seasonality = tf.einsum("ij,...j->...i", X_pred, beta)

k = yield root(tfd.HalfNormal(10., name="k"))

m = yield root(tfd.Normal(

co2_by_month_training_data["CO2"].mean(), scale=5., name="m"))

tau = yield root(tfd.HalfNormal(10., name="tau"))

delta = yield tfd.Sample(

tfd.Laplace(0., tau), sample_shape=n_changepoints, name="delta")

growth_rate = k[..., None] + tf.einsum("ij,...j->...i", A, delta)

offset = m[..., None] + tf.einsum("ij,...j->...i", A, -s * delta)

trend = growth_rate * t + offset

y_hat = seasonality + trend

y_hat = y_hat[..., :co2_by_month_training_data.shape[0]]

noise_sigma = yield root(tfd.HalfNormal(scale=5., name="noise_sigma"))

observed = yield tfd.Independent(

tfd.Normal(y_hat, noise_sigma[..., None]),

reinterpreted_batch_ndims=1,

name="observed")

Fig. 107 从代码 gam 生成的、来自类 Facebook Prophet 广义可加模型的先验预测样本,与趋势性分量相关的参数具有弱信息先验。每条线是一个预测生成的时间序列。预测样本与实际观测值的范围相似,尤其是将此图与 Fig. 102 进行比较时更为明显。¶

经过推断,我们还能够得到后验预测样本,如 Fig. 108 所示,预测性能优于 Fig. 104 中的简单回归模型。

请注意,在 Taylor and Letham [53] 中,预测结果的生成过程与此处的生成模型不一样,因为阶跃线性函数被预定的变化点均匀切分开了。对于预测而言,建议在每个时间点处首先确定其是否为变化点,然后再从后验分布 \(\delta_{new} \sim \text{Laplace}(0, \tau)\) 中生成新样本。在这里,为了简化生成过程,我们简单地使用上一时段的线性趋势。

Fig. 108 来自代码 gam 的类 Facebook Prophet 模型的后验预测样本以灰色显示,实际数据以黑色和蓝色显示。¶

6.3 自回归模型¶

6.3.1 基础的自回归模型¶

时间序列的特征之一是观测值之间存在顺序依赖性。这通常会引入与先前观测(或观测误差)相关的结构化误差,其中典型的是自回归性。在自回归模型中,时间 \(t\) 处的分布被先前观测值的线性函数参数化。考虑一个具有高斯似然的一阶自回归模型( 通常记作 \(AR(1)\) ):

(50)¶\[y_t \sim \mathcal{N}(\alpha + \rho y_{t-1}, \sigma)\]

\(y_t\) 遵循在该位置处的高斯分布,并且是 \(y_{t-1}\) 的线性函数。

( 1 )采用循环语句实现自回归

在 Python 中,可以用一个 for 循环来编写这样一个自回归模型。例如,在代码 ar1_with_forloop 中,我们使用 \(\alpha = 0\) 的 tfd.JointDistributionCoroutine 创建了一个 \(AR(1)\) 过程,并以 \(\sigma = 1\) 和 不同的 \(\rho\) 值做条件化抽取了随机样本,其结果显示在 Fig. 109 中。

Listing 82 ar1_with_forloop¶

n_t = 200

@tfd.JointDistributionCoroutine

def ar1_with_forloop():

sigma = yield root(tfd.HalfNormal(1.))

rho = yield root(tfd.Uniform(-1., 1.))

x0 = yield tfd.Normal(0., sigma)

x = [x0]

for i in range(1, n_t):

x_i = yield tfd.Normal(x[i-1] * rho, sigma)

x.append(x_i)

nplot = 4

fig, axes = plt.subplots(nplot, 1)

for ax, rho in zip(axes, np.linspace(-1.01, 1.01, nplot)):

test_samples = ar1_with_forloop.sample(value=(1., rho))

ar1_samples = tf.stack(test_samples[2:])

ax.plot(ar1_samples, alpha=.5, label=r"$\rho$=%.2f" % rho)

ax.legend(bbox_to_anchor=(1, 1), loc="upper left",

borderaxespad=0., fontsize=10)

Fig. 109 \(\sigma = 1\) 和不同 \(\rho\) 值时 \(AR(1)\) 自回归过程的随机样本。请注意,当 \(\mid \rho \mid > 1\) 时,\(AR(1)\) 过程是非平稳的。¶

( 2 )使用向量化实现自回归

使用 for 循环生成时间序列随机变量非常简单,但现在每个时间点都是一个随机变量,其应用起来非常困难( 例如,难以适应大规模的时间点数据 )。如果可能,我们更喜欢编写使用向量化操作的模型。上面的模型可以在不使用 for 循环的情况下,通过 TFP 中的自回归分布 tfd.Autoregressive 来重写。它采用distribution_fn 函数来定义公式 (50) ,该函数输入 \(y_{t -1}\) 并返回 \(y_t\) 的分布。但 TFP 中的自回归分布仅保留了过程的最终状态,即初始值 \(y_0\) 迭代 \(t\) 步后,随机变量 \(y_t\) 的分布。为了获得自回归过程中的所有时间步,需要使用后移运算符(也称为滞后运算符)\(\mathbf{B}\) 表达公式 (50),该运算符会对时间序列中所有 \(t > 0\) 做移动,使得 \(\mathbf{B} y_t = y_{t-1}\) 。用后移运算符 \(\mathbf{B}\) 重新表示公式 (50) 为 \(Y \sim \mathcal{N}(\rho \mathbf{B} Y, \sigma)\) 。从概念上讲,可以将其视为对向量化似然 Normal(ρ * y[:-1], σ).log_prob(y[1:]) 的估计。在代码 ar1_without_forloop 中,我们用 tfd.Autoregressive API 构建了步数为 n_t 的同一生成式 \(AR(1)\) 模型。请注意,在代码 ar1_without_forloop 中并没有通过生成输出结果 \(y_{t-1}\) 来显式地构造后移运算符 \(\mathbf{B}\) ,而是使用了 Python 函数 ar1_fun 完成后移运算并为下一时间步生成分布。

Listing 83 ar1_without_forloop¶

@tfd.JointDistributionCoroutine

def ar1_without_forloop():

sigma = yield root(tfd.HalfNormal(1.))

rho = yield root(tfd.Uniform(-1., 1.))

def ar1_fun(x):

# We apply the backshift operation here

x_tm1 = tf.concat([tf.zeros_like(x[..., :1]), x[..., :-1]], axis=-1)

loc = x_tm1 * rho[..., None]

return tfd.Independent(tfd.Normal(loc=loc, scale=sigma[..., None]),

reinterpreted_batch_ndims=1)

dist = yield tfd.Autoregressive(

distribution_fn=ar1_fun,

sample0=tf.zeros([n_t], dtype=rho.dtype),

num_steps=n_t)

现在以 \(AR(1)\) 过程作为似然函数来扩展上述 类 Facebook Prophet 的广义可加模型。但需要先将代码 gam 中的 GAM 改写为代码 gam_alternative。

Listing 84 gam_alternative¶

def gam_trend_seasonality():

beta = yield root(tfd.Sample(

tfd.Normal(0., 1.), sample_shape=n_pred, name="beta"))

seasonality = tf.einsum("ij,...j->...i", X_pred, beta)

k = yield root(tfd.HalfNormal(10., name="k"))

m = yield root(tfd.Normal(

co2_by_month_training_data["CO2"].mean(), scale=5., name="m"))

tau = yield root(tfd.HalfNormal(10., name="tau"))

delta = yield tfd.Sample(

tfd.Laplace(0., tau), sample_shape=n_changepoints, name="delta")

growth_rate = k[..., None] + tf.einsum("ij,...j->...i", A, delta)

offset = m[..., None] + tf.einsum("ij,...j->...i", A, -s * delta)

trend = growth_rate * t + offset

noise_sigma = yield root(tfd.HalfNormal(scale=5., name="noise_sigma"))

return seasonality, trend, noise_sigma

def generate_gam(training=True):

@tfd.JointDistributionCoroutine

def gam():

seasonality, trend, noise_sigma = yield from gam_trend_seasonality()

y_hat = seasonality + trend

if training:

y_hat = y_hat[..., :co2_by_month_training_data.shape[0]]

# likelihood

observed = yield tfd.Independent(

tfd.Normal(y_hat, noise_sigma[..., None]),

reinterpreted_batch_ndims=1,

name="observed"

)

return gam

gam = generate_gam()

比较代码 gam_alternative 和代码 gam,可以看到两个主要区别:

将趋势性分量和季节性分量(及其先验)的构造拆分成了独立函数,并且在 tfd.JointDistributionCoroutine 的模型块中,使用了 yield from 语句,从而在不同代码中能够获得相同的 tfd.JointDistributionCoroutine 模型;

将 tfd.JointDistributionCoroutine 封装在另一个 Python 函数中,这样更容易在训练集和测试集上进行条件化。

代码 gam_alternative 是一种更加模块化的方法。我们可以通过改变似然部分来写出一个具有 \(AR(1)\) 似然的 GAM 。这正是代码 gam_with_ar_likelihood 所做的。

Listing 85 gam_with_ar_likelihood¶

def generate_gam_ar_likelihood(training=True):

@tfd.JointDistributionCoroutine

def gam_with_ar_likelihood():

seasonality, trend, noise_sigma = yield from gam_trend_seasonality()

y_hat = seasonality + trend

if training:

y_hat = y_hat[..., :co2_by_month_training_data.shape[0]]

# Likelihood

rho = yield root(tfd.Uniform(-1., 1., name="rho"))

def ar_fun(y):

loc = tf.concat([tf.zeros_like(y[..., :1]), y[..., :-1]],

axis=-1) * rho[..., None] + y_hat

return tfd.Independent(

tfd.Normal(loc=loc, scale=noise_sigma[..., None]),

reinterpreted_batch_ndims=1)

observed = yield tfd.Autoregressive(

distribution_fn=ar_fun,

sample0=tf.zeros_like(y_hat),

num_steps=1,

name="observed")

return gam_with_ar_likelihood

gam_with_ar_likelihood = generate_gam_ar_likelihood()

(3)通过修改设计矩阵实现自回归

另外一种实现 \(AR(1)\) 模型方法,是将线性回归概念扩展为在设计矩阵中包含一个观测相关列,并将该列的元素 \(x_i\) 设置为 \(y_{i-1}\)。然后,自回归系数 \(\rho\) 与任何其他回归系数没有什么不同,这只是告诉我们,先前观测对当前观测的期望的线性贡献是什么 8。在这个模型中,检查 \(\rho\) 的后验分布后,我们发现这种影响几乎可以忽略不计( 参见 Fig. 110 ):

Fig. 110 在代码 gam_with_ar_likelihood 中定义的 类 Facebook Prophet 似然函数参数的后验分布。最左边的子图是具有高斯似然的模型中的 \(\sigma\),中间和最右边的子图是具有 \(AR(1)\) 似然的模型中的 \(\sigma\) 和 \(\rho\)。两个模型都返回了相似的 \(\sigma\) 估计值,\(\rho\) 估计值以 \(0\) 为中心。¶

( 4 )隐自回归分量的引入

除了采用 AR(k) 似然函数这种方式之外,还可以在线性预测中添加隐自回归分量,来达到将自回归包含在时间序列模型中的目的。这就是代码 gam_with_latent_ar 中的 gam_with_latent_ar 隐自回归模型。

Listing 86 gam_with_latent_ar¶

def generate_gam_ar_latent(training=True):

@tfd.JointDistributionCoroutine

def gam_with_latent_ar():

seasonality, trend, noise_sigma = yield from gam_trend_seasonality()

# Latent AR(1)

ar_sigma = yield root(tfd.HalfNormal(.1, name="ar_sigma"))

rho = yield root(tfd.Uniform(-1., 1., name="rho"))

def ar_fun(y):

loc = tf.concat([tf.zeros_like(y[..., :1]), y[..., :-1]],

axis=-1) * rho[..., None]

return tfd.Independent(

tfd.Normal(loc=loc, scale=ar_sigma[..., None]),

reinterpreted_batch_ndims=1)

temporal_error = yield tfd.Autoregressive(

distribution_fn=ar_fun,

sample0=tf.zeros_like(trend),

num_steps=trend.shape[-1],

name="temporal_error")

# Linear prediction

y_hat = seasonality + trend + temporal_error

if training:

y_hat = y_hat[..., :co2_by_month_training_data.shape[0]]

# Likelihood

observed = yield tfd.Independent(

tfd.Normal(y_hat, noise_sigma[..., None]),

reinterpreted_batch_ndims=1,

name="observed"

)

return gam_with_latent_ar

gam_with_latent_ar = generate_gam_ar_latent()

通过显式的隐自回归过程,我们在模型中添加到一个与观测数据集大小相同的随机变量。由于它现在是添加到线性预测 \(\hat{Y}\) 中的显式分量,因此可以将自回归过程解释对趋势性分量的补充,或者解释为趋势性分量的一部分。

我们可以在完成推断后,可视化隐自回归分量,类似于时间序列模型的趋势性分量和季节性分量(参见 Fig. 111)。

Fig. 111 在代码 gam_with_latent_ar 中指定的时间序列模型 gam_with_latent_ar 中,趋势性分量、季节性分量和 \(AR(1)\) 分量的后验预测样本。¶

还有一种解释隐自回归过程的方法,即认为它捕获了和时间相关的残差,因此我们预期 \(\sigma_{noise}\) 的后验估计会比没有隐自回归过程分量时的模型小。在 Fig. 112 中,我们展示了模型 gam_with_latent_ar 的 \(\sigma_{noise}\)、\(\sigma_{AR}\) 和 \(\rho\) 的后验分布。与模型 gam_with_ar_likelihood 相比,确实得到了 \(\sigma_{noise}\) 的较低估计,而 \(\rho\) 的估计则明显更高一些。

Fig. 112 代码 gam_with_latent_ar 指定的 gam_with_latent_ar 模型中, \(AR(1)\) 分量的 \(\sigma_{noise}\)、\(\sigma_{AR}\) 和 \(\rho\) 的后验分布。注意不要与 Fig. 110 混淆,在那幅图中,我们展示了来自 \(2\) 个不同 GAM 模型的参数的后验分布。¶

6.3.2 隐自回归过程和平滑¶

隐过程在捕获时间观测序列中的微妙趋势方面非常强大。它甚至可以近似任意的函数。为了证明这一点,让我们考虑使用一个包含隐高斯随机游走分量( GRW )的时间序列模型,对玩具数据集进行建模,如公式 (51) 所示。

(51)¶\[\begin{split}\begin{split}

z_i & \sim \mathcal{N}(z_{i-1}, \sigma_{z}^2) \: \text{ for } i=1,\dots,N \\

y_i & \sim \mathcal{N}(z_i, \sigma_{y}^2)

\end{split}\end{split}\]

此处的高斯随机游走等同于 \(\rho = 1\) 时的 \(AR(1)\) 过程。

通过在公式 (51) 中对 \(\sigma_{z}\) 和 \(\sigma_{y}\) 设置不同先验,可以突出表达高斯随机游走应当解释多少观测数据中的方差,以及其中有多少是独立同分布的噪声。我们还可以计算一个位于 \([0, 1]\) 区间内的比率值 \(\alpha = \frac{\sigma_{y}^2}{\sigma_{z}^2 + \sigma_{y}^2}\) ,并将其解释为平滑度。因此,可以将公式 (51) 中的模型等价地表示为公式 (52)。

(52)¶\[\begin{split}\begin{split}

z_i & \sim \mathcal{N}(z_{i-1}, (1 - \alpha) \sigma^2) \: \text{ for } i=1,\dots,N \\

y_i & \sim \mathcal{N}(z_i, \alpha \sigma^2)

\end{split}\end{split}\]

公式 (52) 中的隐高斯随机游走模型可以编写为代码 gw_tfp 。通过在 \(\alpha\) 上放置信息性先验,我们可以控制希望在隐高斯随机游走分量中看到多少平滑度, \(\alpha\) 越大获得的近似值越平滑。让我们用一些含噪声的观测来拟合代码中的模型 smoothing_grw。观测数据在 Fig. 113 中被显示为黑色实心点,拟合的隐随机游走过程在图中显示为灰色。

Listing 87 gw_tfp¶

@tfd.JointDistributionCoroutine

def smoothing_grw():

alpha = yield root(tfd.Beta(5, 1.))

variance = yield root(tfd.HalfNormal(10.))

sigma0 = tf.sqrt(variance * alpha)

sigma1 = tf.sqrt(variance * (1. - alpha))

z = yield tfd.Sample(tfd.Normal(0., sigma0), num_steps)

observed = yield tfd.Independent(

tfd.Normal(tf.math.cumsum(z, axis=-1), sigma1[..., None]))

Fig. 113 来自 \(y \sim \text{Normal}(f(x), 1)\) 的模拟观测结果 \(f(x) = e^{1 + x^{0.5} - e^{\frac{x}{15} }}\),以及推断的隐高斯随机游走。灰色半透明区域是隐高斯随机游走 \(z\) 的后验 \(94\%\) HDI 区间,后验均值图为蓝色虚线。¶

自回归过程还有一些其他有趣的性质,与高斯过程 [52] 有关。例如,你可能会发现单单靠自回归模型无法捕获长期的趋势。尽管模型对观测数据拟合得很好,但预测结果会快速回归到最后几个时间步的均值,与均值函数为常数的高斯过程表现相似 9 。

自回归分量作为一个加性的趋势性分量,可能会给模型推断带来一些挑战。例如,难以适应大规模数据,因为我们需要添加一个与时间观测序列大小相同的随机变量。当趋势性分量和自回归过程都灵活时,我们可能会得到一个无法辨识的模型,因为自回归过程本身已经有能力近似观测数据的潜在趋势(平滑函数)了。

6.3.3 移动平均自回归 (S)AR(I)MA(X)¶

许多经典的时间序列模型,共享一个相似的类自回归模式,其中在时间 \(t\) 处存在一些依赖于当前观测值(和/或 \(t-k\) 处的另外一个参数值)的隐参数。其中两个典型的例子是:

自回归条件异方差 ( ARCH ) 模型 ,该模型中残差的尺度会随时间变化;

移动平均 ( MA ) 模型,该模型在时间序列的均值上,加入历史时间步残差的某种线性组合值作为当前时间步的残差。

这些经典的时间序列模型,可以组合形成更复杂的模型。其中一种扩展是 具有外生回归量的整合移动平均季节性自回归模型( Seasonal AutoRegressive Integrated Moving Average with eXogenous regressors model, SARIMAX)。虽然命名看起来吓人,但基本上就是自回归和移动平均模型的直接组合。用移动平均来扩展自回归模型,可以得到具有一般性的 自回归移动平均( ARMA ) 模型:

(53)¶\[\begin{split}\begin{split}

y_t & = \alpha + \sum_{i=1}^{p}\phi_i y_{t-i} + \sum_{j=1}^{q}\theta_j \epsilon_{t-j} + \epsilon_t \\

\epsilon_t & \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)

\end{split}\end{split}\]

其中 \(p\) 是自回归模型的阶数,\(q\) 是移动平均模型的阶数。通常会将此模型记为 \(ARMA(p, q)\) 。进一步的,对于移动平均季节性自回归模型( SARMA ),我们有:

(54)¶\[\begin{split}

y_t = \alpha + \sum_{i=1}^{p}\phi_i y_{t-period-i} + \sum_{j=1}^{q}\theta_j \epsilon_{t-period-j} + \epsilon_t

\end{split}\]

而在 整合移动平均自回归模型(AutoRegressive Integrated Moving Average, ARIMA) 中,”整合“是指对原始观测值进行差分处理,以使生成一个平稳的时间序列(即用当前时间步与之前时间步的数据值之差来代替当前数据值)。原始观测值被差分的次数被称为 整合阶数( Order of Integration ) ,表示为 \(I(d)\) 。如果一个时间序列重复做 \(d\) 次差分后仍然能够生成平稳序列,就称其被整合到了 \(d\) 阶。遵从 Box et al. [57] 的定义 ,我们将时间观测序列的差分作为预处理步骤,来解释 \(ARIMA(p,d,q)\) 模型的 \(I(d)\) 部分,并将差分结果序列建模为一个带 \(ARMA(p,q)\) 的平稳过程。该运算本身在 Python 中相当普遍,可以使用 numpy.diff 实现,其中计算的第一个差分是沿给定轴的 delta_y[i] = y[i] - y[i-1],通过在给定轴上递归重复相同运算来计算更高阶的差分结果数组。

如果我们有一个额外的回归量 \(\mathbf{X}\),并将上述模型中的 \(\alpha\) 替换为线性预测 \(\mathbf{X} \beta\) 。如果模型设置 \(d > 0\),则我们也会对 \(\mathbf{X}\) 做相应的差分处理。

此外请注意,我们可以有季节性回归( SARIMA )或外生回归( ARIMAX ),但不能同时有。

(S)AR(I)MA(X) 的概念

整合移动平均自回归( ARIMA )模型通常表示为 \(ARIMA(p,d,q)\),也就是说,我们有一个自回归阶数为 \(p\) 、整合度数为 \(d\) 、移动平均阶数为 \(q\) 的自回归模型。因此,\(ARIMA(1,0,0)\) 等价于 \(AR(1)\)。

季节性 ARIMA 模型通常被表示为 \(\text{SARIMA}(p,d,q)(P,D,Q)_{s}\),其中 \(s\) 表示每个季节的周期数,而大写的 \(P\)、\(D\)、\(Q\) 则分别是模型 \(p\)、\(d\)、\(q\) 的季节性计数部分。有时季节性 ARIMA 也表示为 \(\text{SARIMA}(p,d,q)(P,D,Q,s)\)。

如果 ARIMA 模型 存在外生的回归量,则通常记为 \(\text{ARIMAX}(p,d,q)\mathbf{X}[k]\) ,其中 \(\mathbf{X}[k]\) 表示我们的设计矩阵 \(\mathbf{X}\) 包含 \(k\) 列。

作为本章的第二个例子,我们将使用不同的 ARIMA 模型 对美国从 \(1948\) 年到 \(1979\) 年的月活产率时间序列进行建模[58]。数据显示在 Fig. 114 中。

Fig. 114 美国的月活产婴儿(1948-1979 年)。 \(Y\) 轴显示出生人数(以千计)。¶

我们从 \(\text{SARIMA}(1, 1, 1)(1, 1, 1)_{12}\) 模型开始。首先,在代码 sarima_preprocess 中加载和预处理时间观测序列。

Listing 88 sarima_preprocess¶

us_monthly_birth = pd.read_csv("../data/monthly_birth_usa.csv")

us_monthly_birth["date_month"] = pd.to_datetime(us_monthly_birth["date_month"])

us_monthly_birth.set_index("date_month", drop=True, inplace=True)

# y ~ Sarima(1,1,1)(1,1,1)[12]

p, d, q = (1, 1, 1)

P, D, Q, period = (1, 1, 1, 12)

# Time series data: us_monthly_birth.shape = (372,)

observed = us_monthly_birth["birth_in_thousands"].values

# Integrated to seasonal order $D$

for _ in range(D):

observed = observed[period:] - observed[:-period]

# Integrated to order $d$

observed = tf.constant(np.diff(observed, n=d), tf.float32)

在撰写本文时,TFP 没有专门的 ARMA 分布 。为了运行 SARIMA 模型的推断,TFP 需要一个 Python 的 callable 可调用对象来表示对数后验密度函数( 最大值为某个常数 ) [30] 。在此情况下,可以将其实现为似然函数 \(\text{SARMA}(1, 1)(1, 1)_{12}\)( 注: 整合部分 \(\text{I}\) 通过差分预处理实现 )。

我们在代码 sarima_likelihood 使用 tf.while_loop 构造残差时间序列 \(\epsilon_t\) ,并在高斯分布上进行估计 10 。从编程角度来看,这里最大的挑战是当我们对时间序列进行索引时,确保张量形状是正确的。为了避免额外的控制流来检查索引是否有效( 例如,当 \(t=0\) 时,我们是不能索引 \(t-1\) 和 \(t-period-1\) 的 ),采用零对时间序列进行了填充。

Listing 89 sarima_likelihood¶

def likelihood(mu0, sigma, phi, theta, sphi, stheta):

batch_shape = tf.shape(mu0)

y_extended = tf.concat(

[tf.zeros(tf.concat([[r], batch_shape], axis=0), dtype=mu0.dtype),

tf.einsum("...,j->j...",

tf.ones_like(mu0, dtype=observed.dtype),

observed)],

axis=0)

eps_t = tf.zeros_like(y_extended, dtype=observed.dtype)

def arma_onestep(t, eps_t):

t_shift = t + r

# AR

y_past = tf.gather(y_extended, t_shift - (np.arange(p) + 1))

ar = tf.einsum("...p,p...->...", phi, y_past)

# MA

eps_past = tf.gather(eps_t, t_shift - (np.arange(q) + 1))

ma = tf.einsum("...q,q...->...", theta, eps_past)

# Seasonal AR

sy_past = tf.gather(y_extended, t_shift - (np.arange(P) + 1) * period)

sar = tf.einsum("...p,p...->...", sphi, sy_past)

# Seasonal MA

seps_past = tf.gather(eps_t, t_shift - (np.arange(Q) + 1) * period)

sma = tf.einsum("...q,q...->...", stheta, seps_past)

mu_at_t = ar + ma + sar + sma + mu0

eps_update = tf.gather(y_extended, t_shift) - mu_at_t

epsilon_t_next = tf.tensor_scatter_nd_update(

eps_t, [[t_shift]], eps_update[None, ...])

return t+1, epsilon_t_next

t, eps_output_ = tf.while_loop(

lambda t, *_: t < observed.shape[-1],

arma_onestep,

loop_vars=(0, eps_t),

maximum_iterations=observed.shape[-1])

eps_output = eps_output_[r:]

return tf.reduce_sum(

tfd.Normal(0, sigma[None, ...]).log_prob(eps_output), axis=0)

在代码 sarima_posterior 中,我们为未知参数( mu0、sigma、phi、theta、sphi 和 stheta )添加了先验,并创建了用于推断的后验密度函数 target_log_prob_fn 11 。

Listing 90 sarima_posterior¶

@tfd.JointDistributionCoroutine

def sarima_priors():

mu0 = yield root(tfd.StudentT(df=6, loc=0, scale=2.5, name='mu0'))

sigma = yield root(tfd.HalfStudentT(df=7, loc=0, scale=1., name='sigma'))

phi = yield root(tfd.Sample(tfd.Normal(0, 0.5), p, name='phi'))

theta = yield root(tfd.Sample(tfd.Normal(0, 0.5), q, name='theta'))

sphi = yield root(tfd.Sample(tfd.Normal(0, 0.5), P, name='sphi'))

stheta = yield root(tfd.Sample(tfd.Normal(0, 0.5), Q, name='stheta'))

target_log_prob_fn = lambda *x: sarima_priors.log_prob(*x) + likelihood(*x)

代码 sarima_preprocess 中时间序列的预处理可以解释 整合 部分,代码 sarima_likelihood 中实现的似然函数可以重构为一个可灵活生成不同 SARIMA 似然函数 的 Python 语言 helper 类。例如,Table 13 显示了代码 sarima_posterior 中的 $\(\text{SARIMA}(1,1,1)(1,1,1)_{12}\) 模型与相似的 \(\text{SARIMA}(0,1,2)(1,1,1)_{12}\) 模型之间的比较。

Table 13 使用 LOO(对数标度)对不同 SARIMA 模型进行模型比较的汇总数据。¶

rank

loo

p_loo

d_loo

weight

se

dse

\(\text{SARIMA}(0,1,2)(1,1,1)_{12}\)

0

-1235.60

7.51

0.00

0.5

15.41

0.00

\(\text{SARIMA}(1,1,1)(1,1,1)_{12}\)

1

-1235.97

8.30

0.37

0.5

15.47

6.29

6.4 状态空间模型¶

在代码 sarima_likelihood 所指定模型的对数似然函数中,我们对时间步进行迭代,以便以观测为条件创建一些隐变量。实际上,除非模型非常具体和简单以至于能够使用向量化操作(例如,每两个连续时间步长之间的马尔可夫依赖关系可以将生成过程简化为向量化操作,而非迭代),否则迭代模式是表达时间序列模型的一种非常自然的方式。

状态空间模型( Status Space Model ) 是这种迭代模式的一种通用形式,该模型对一个离散时间过程进行建模,假设在每个时间步,存在一些由前一步 \(X_{t-1}\) 演变而来隐状态 \(X_t\) ( 马尔可夫序列 ),而观测值 \(Y_t\) 则是从 \(X_t\) 所在的隐状态空间到观测空间的某种投影 12 :

(55)¶\[\begin{split}\begin{split}

X_0 & \sim p(X_0) \\

\text{for t in 0...T:} \\

Y_t & \sim p^{\psi}(Y_t \mid X_t) \\

X_{t+1} & \sim p^{\theta}(X_{t+1} \mid X_{t})

\end{split}\end{split}\]

其中 \(p(X_0)\) 是时间步 \(0\) 处隐状态的先验分布,\(p^{\theta}(X_{t+1} \mid X_t)\) 是由参数向量 \(\theta\) 参数化的转移概率, 其中 \(\theta\) 描述了某种系统动力学。\(p^{\psi}(Y_t \mid X_t)\) 是由向量 \(\psi\) 参数化的观测概率,描述了时间 \(t\) 时隐状态条件下的测量值。

实现高效计算的状态空间模型

使用 tf.while_loop 或 tf.scan 等 API 实现的状态空间模型和数学公式之间存在某种调谐。与使用 Python 的 for 循环或 while 循环不同,在 TFP 中,需要将循环体编译成一个函数,该函数采用相同的张量结构作为输入和输出。这种函数风格的实现方式有助于显式地表示 “在每个时间步隐状态是如何转换的?” 以及 “隐状态如果转换到为观测结果的?”。值得注意的是,实现状态空间模型及其相关推断算法( 如卡尔曼滤波器 )也涉及在何处放置初始计算的设计决策。在上式中,我们在初始隐条件上放置了一个先验,并且第一个观测值直接来自初始状态的测量值。不过,在第 \(0\) 步中,对隐状态进行转换同样有效,然后通过修改先验分布进行第一次观测,这两种方法是等效的。

然而,在为时间序列问题实现滤波时,在张量的形状处理上有一些微妙的技巧。主要挑战是时间维的放置位置。一个明显选择是将其放置在轴 \(0\) 上,因为使用 t 作为时间索引来执行 time_series[t] 是很自然的事情。使用 tf.scan 或 theano.scan 等循环结构在时间序列上实现循环时,会自动将时间维度放在轴 \(0\) 上。但这与通常作为引导轴的批处理维有冲突。例如,如果我们想对 \(N\) 批的 \(k\) 维时间序列向量化,每个时间序列总共有 \(T\) 个时间戳,则数组的形状为 [N, T, ...],但 tf.scan 的输出形状为 [T, N, ...] 。目前,建模人员似乎不可避免地需要对 scan 的输出执行转置,以使其与输入张量的批处理维和时间维语义相匹配。

有了时间序列问题的状态空间表示,我们就处在了一个序列分析的框架中。该框架通常包括滤波、平滑等任务:

滤波:以时间步 \(k\) 之前的观测作为条件,计算隐状态 \(X_k\) 的边缘分布 \(p(X_k \mid y_{0:k}), k = 0,...,T\) ; 然后将上述滤波扩展到未来 \(n\) 步,即做出预测 \(p(X_k+n \mid y_{0:k}), k = 0,... ,T, n=1, 2,...\)

平滑:类似于滤波,但会尝试以所有观测为条件计算隐状态 \(X_k\) 的边缘分布:\(p(X_k \mid y_{0:T}), k = 0 ,...,T\) 。

注意:滤波和平滑中的下标 \(y_{0:\dots}\) 有所不同,滤波以 \(y_{0:k}\) 为条件,而平滑以 \(y_{0:T}\) 为条件。

事实上,从滤波和平滑的视角来建模时间序列有着悠久的历史。例如,我们计算 ARMA 模型的对数似然时,采取的方式就可以看作是一个滤波问题,其中观测数据被解构为一些隐含的不可观测状态。

6.4.1 线性高斯状态空间模型与卡尔曼滤波¶

线性高斯状态空间模型也许是最著名的状态空间模型。在该模型中,假设存在隐状态 \(X_t\) ,观测 \(Y_t\) 呈(多元)高斯分布,并且状态转移函数和观测函数都是线性的:

(56)¶\[\begin{split}\begin{split}

Y_t & = \mathbf{H}_t X_t + \epsilon_t \\

X_t & = \mathbf{F}_t X_{t-1} + \eta_t

\end{split}\end{split}\]

其中 \(\epsilon_t \sim \mathcal{N}(0, \mathbf{R}_t)\) 和 \(\eta_t \sim \mathcal{N}(0, \mathbf{Q}_t)\) 是噪声分量。

变量 (\(\mathbf{H}_t\), \(\mathbf{F}_t\)) 是描述线性变换的矩阵。通常 \(\mathbf{F}_t\) 是方阵,代表相邻时间步之间的线性状态转移函数;\(\mathbf{H} _t\) 的秩低于 \(\mathbf{F}_t\),表示隐状态到观测之间的线性观测函数; \(\mathbf{R}_t\), \(\mathbf{Q}_t\) 是协方差矩阵(正半定矩阵)。你还可以在 11.1.11 马尔可夫链 中找到一些比较直观的示例。

由于 \(\epsilon_t\) 和 \(\eta_t\) 都是服从高斯分布的随机变量,而上述线性函数只是对高斯随机变量做了仿射变换,因此导致 \(X_t\) 和 \(Y_t\) 也服从高斯分布。也就是说,先验( \(t-1\) 时的状态 )和后验( \(t\) 时的状态 )之间存在共轭性质,这使获得贝叶斯滤波公式的解析解成为可能,即卡尔曼滤波器(Kalman,1960)。作为共轭贝叶斯模型最重要的应用之一,卡尔曼滤波器帮助人类登陆月球,并且至今在许多领域仍然被广泛使用。

为了直观地理解卡尔曼滤波器,首先看一下线性高斯状态空间模型从时间 \(t-1\) 到 \(t\) 的生成过程:

(57)¶\[\begin{split}\begin{split}

X_t \sim p(X_t \mid X_{t-1}) & \equiv \mathcal{N}(\mathbf{F}_{t} X_{t-1}, \mathbf{Q}_{t}) \\

Y_t \sim p(Y_t \mid X_t) & \equiv \mathcal{N}(\mathbf{H}_t X_t, \mathbf{R}_t)

\end{split}\end{split}\]

其中 \(X_t\) 和 \(Y_t\) 的条件概率分布表示为 \(p(.)\)( 此处使用 \(\equiv\) 表示该条件分布为多元高斯分布 )。请注意,\(X_t\) 仅取决于上一个时间步的状态 \(X_{t-1}\) ,而不取决于之前的历史观测。这意味着,生成过程可以首先生成一个隐时间序列 \(X_t,\ t = 0...T\) , 然后再将整个隐时间序列投射到观测空间中。在贝叶斯滤波场景中,\(Y_t\) 是可观测的,因此被用于对隐状态 \(X_t\) 进行更新,类似于在静态模型中用(观测数据的)似然去更新先验:

(58)¶\[\begin{split}\begin{split}

X_0 \sim p(X_0 \mid m_0, \mathbf{P}_0) & \equiv \mathcal{N}(m_0, \mathbf{P}_0) \\

X_{t \mid t-1} \sim p(X_{t \mid t-1} \mid Y_{0:t-1}) & \equiv \mathcal{N}(m_{t \mid t-1}, \mathbf{P}_{t \mid t-1}) \\

X_{t \mid t} \sim p(X_{t \mid t} \mid Y_{0:t}) & \equiv \mathcal{N}(m_{t \mid t}, \mathbf{P}_{t \mid t}) \\

Y_t \sim p(Y_t \mid Y_{0:t-1}) & \equiv \mathcal{N}(\mathbf{H}_t m_{t \mid t-1}, \mathbf{S}_t)

\end{split}\end{split}\]

其中 \(m_t\) 和 \(\mathbf{P}_t\) 表示隐状态 \(X_t\) 的均值和协方差矩阵。 \(X_{t \mid t-1}\) 是参数 \(m_{t \mid t-1}\) (预测均值)和 \(\mathbf{P}_{t \mid t-1}\) (预测协方差)下隐状态的预测值,而 \(X_{t \mid t}\) 是参数 \(m_{t \mid t}\) 和 \(\mathbf{P}_{t \mid t}\)下隐状态的滤波后结果。

公式 (58) 中的下标容易让人感到困惑,因此需要有一个高层视图来理解它:从上一个时间步开始,我们有一个滤波后状态 \(X_{t-1 \mid t-1} \) ;在应用转移矩阵 \(\mathbf{F}_{t}\) 后,得到一个预测的隐状态 \(X_{t \mid t-1}\) ;结合当前时间步的观测值,我们得到一个当前时间步的滤波后新状态 \(X_{t \mid t}\) 。

公式 (58) 中,上述分布的参数是利用卡尔曼滤波的预测和更新步骤计算的:

预测步骤:

(59)¶\[\begin{split}\begin{split}

m_{t \mid t-1} & = \mathbf{F}_{t} m_{t-1 \mid t-1} \\

\mathbf{P}_{t \mid t-1} & = \mathbf{F}_{t} \mathbf{P}_{t-1 \mid t-1} \mathbf{F}_{t}^T + \mathbf{Q}_{t}

\end{split}\end{split}\]

更新步骤

(60)¶\[\begin{split}\begin{split}

z_t & = Y_t - \mathbf{H}_t m_{t \mid t-1} \\

\mathbf{S}_t & = \mathbf{H}_t \mathbf{P}_{t \mid t-1} \mathbf{H}_t^T + \mathbf{R}_t \\

\mathbf{K}_t & = \mathbf{P}_{t \mid t-1} \mathbf{H}_t^T \mathbf{S}_t^{-1} \\

m_{t \mid t} & = m_{t \mid t-1} + \mathbf{K}_t z_t \\

\mathbf{P}_{t \mid t} & = \mathbf{P}_{t \mid t-1} - \mathbf{K}_t \mathbf{S}_t \mathbf{K}_t^T

\end{split}\end{split}\]

卡尔曼滤波方程的推导主要使用了多元高斯联合分布。在实践中,还有一些技巧来确保计算在数值上是稳定的。例如,为了避免求矩阵 \(\mathbf{S}_t\) 的逆,在计算 \(\mathbf{P}_{t\mid t}\) 时使用 Jordan 范数 做更新,以确保结果为正定矩阵 [59]。在 TFP 中,线性高斯状态空间模型和卡尔曼滤波器可以通过分布tfd.LinearGaussianStateSpaceModel 很方便地实现。

在使用线性高斯状态空间模型做时间序列建模时,实践性的挑战之一是如何将未知参数表示为高斯隐状态。我们用一个简单的线性增长时间序列作为第一个示例进行演示( 参见《贝叶斯滤波和平滑》 [60] 的第 \(3\) 章 ):

Listing 91 linear_growth_model¶

theta0, theta1 = 1.2, 2.6

sigma = 0.4

num_timesteps = 100

time_stamp = tf.linspace(0., 1., num_timesteps)[..., None]

yhat = theta0 + theta1 * time_stamp

y = tfd.Normal(yhat, sigma).sample()

你可能会将代码 linear_growth_model 识别为简单线性回归。要将其作为使用卡尔曼滤波器的滤波问题来处理,需要假设观测噪声 \(\sigma\) 已知,未知参数 \(\theta_0\) 和 \(\theta_1\) 服从高斯先验分布。

在状态空间形式中,有隐状态:

(61)¶\[\begin{split}X_t = \left[\begin{array}{ccc}

\theta_0 \\

\theta_1 \\

\end{array}\right]\end{split}\]

由于隐状态不随时间变化,转移矩阵 \(F_t\) 是一个没有转移噪声的单位矩阵。观测矩阵描述了从隐空间到观测空间的转换,它是线性函数的矩阵形式 13 :

(62)¶\[\begin{split}y_t = \theta_0 + \theta_1 * t = \left[\begin{array}{ccc}

1, t \\

\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}

\theta_0 \\

\theta_1 \\

\end{array}\right]\end{split}\]

用 tfd.LinearGaussianStateSpaceModel API 表示时,有:

Listing 92 tfd_lgssm_linear_growth¶

# X_0

initial_state_prior = tfd.MultivariateNormalDiag(

loc=[0., 0.], scale_diag=[5., 5.])

# F_t

transition_matrix = lambda _: tf.linalg.LinearOperatorIdentity(2)

# eta_t ~ Normal(0, Q_t)

transition_noise = lambda _: tfd.MultivariateNormalDiag(

loc=[0., 0.], scale_diag=[0., 0.])

# H_t

H = tf.concat([tf.ones_like(time_stamp), time_stamp], axis=-1)

observation_matrix = lambda t: tf.linalg.LinearOperatorFullMatrix(

[tf.gather(H, t)])

# epsilon_t ~ Normal(0, R_t)

observation_noise = lambda _: tfd.MultivariateNormalDiag(

loc=[0.], scale_diag=[sigma])

linear_growth_model = tfd.LinearGaussianStateSpaceModel(

num_timesteps=num_timesteps,

transition_matrix=transition_matrix,

transition_noise=transition_noise,

observation_matrix=observation_matrix,

observation_noise=observation_noise,

initial_state_prior=initial_state_prior)

我们可以应用卡尔曼滤波器获得 \(\theta_0\) 和 \(\theta_1\) 的后验分布:

Listing 93 tfd_lgssm_linear_growth_filter¶

# Run the Kalman filter

(

log_likelihoods,

mt_filtered, Pt_filtered,

mt_predicted, Pt_predicted,

observation_means, observation_cov # observation_cov is S_t

) = linear_growth_model.forward_filter(y)

可以在 Fig. 115 中将卡尔曼滤波器的结果(即迭代地观测每个时间步)与解析结果(即观测完整的时间序列)进行比较。

Fig. 115 线性增长时间序列模型,使用卡尔曼滤波器进行推断。在第一个子图中,展示了观测数据(用虚线连接的灰点)和来自卡尔曼滤波器的单步预测( 黑色实线中的 \(H_t m_{t \mid t-1}\) )。将观测每个时间步之后获得的隐状态 \(X_t\) 的后验分布,与中间子图和右侧子图中使用所有数据获得的解析解(黑色实线)进行比较。¶

6.4.2 ARIMA 模型的状态空间表示¶

状态空间模型是一种概括了许多经典时间序列模型的统一方法。但如何以状态空间形式表达传统模型可能并不总是很明显。在本节中,我们将了解如何表达更复杂的线性高斯状态空间模型:ARMA 和 ARIMA。

回想前面的 \(ARMA(p,q)\) 模型的公式 (53),我们有自回归系数 \(\phi_i\)、移动平均系数 \(\theta_j\) 和噪声参数 \(\sigma\) 。使用 \(\sigma\) 来对观测噪声的分布 \(R_t\) 进行参数化,很具有吸引力。然而,在公式 (53) 中,利用先前时间步的噪声所做的移动平均,需要我们存储当前噪声。唯一的解决办法是将其形式化为转移噪声,使其成为隐状态 \(X_t\) 的一部分。

可以将公式 (53) 重新表述为:

(63)¶\[y_t = \sum_{i=1}^{r}\phi_i y_{t-i} + \sum_{i=1}^{r-1}\theta_i \epsilon_{t-i} + \epsilon_t\]

公式 (53) 中的常数项 \(\alpha\) 被略去,并且常数项 \(r = \max(p, q+1)\) 。我们在需要时用零来填充参数 \(\phi\) 和 \(\theta\) ,以便其长度均为 \(r\) 。因此状态方程中的 \(X_t\) 分量为:

(64)¶\[\begin{split}\mathbf{F}_t = \mathbf{F} = \left[\begin{array}{cccc}

\phi_1 & 1 & \cdots & 0 \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

\phi_{r-1} & 0 & \cdots & 1 \\

\phi_r & 0 & \cdots & 0

\end{array}\right], \\

\mathbf{A} = \left[\begin{array}{c}

1\\

\theta_1 \\

\vdots \\

\theta_{r-1} \\

\end{array}\right],

\eta'_{t+1} \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2), \eta_t = \mathbf{A} \eta'_{t+1}\end{split}\]

隐状态为:

(65)¶\[\begin{split}X_t = \left[\begin{array}{ccc}

y_t \\

\phi_2 y_{t-1} + \dots + \phi_r y_{t-r+1} + \theta_1 \eta'_t + \dots + \theta_{r-1} \eta'_{t-r+2} \\

\phi_3 y_{t-1} + \dots + \phi_r y_{t-r+2} + \theta_2 \eta'_t + \dots + \theta_{r-1} \eta'_{t-r+3} \\

\vdots \\

\phi_r y_{t-1} + \theta_{r-1} \eta'_t

\end{array}\right]\end{split}\]

观测矩阵只是一个索引矩阵 \(\mathbf{H}_t = [1, 0, 0, \dots, 0]\),观测方程为 \(y_t = \mathbf{H}_t X_t\) 14 。

例如,\(ARMA(2,1)\) 模型的状态空间表示为:

(66)¶\[\begin{split}\begin{split}

\left[\begin{array}{ccc}

y_{t+1}\\

\phi_2 y_t + \theta_1 \eta'_{t+1}\\

\end{array}\right] & =

\left[\begin{array}{ccc}

\phi_1 & 1\\

\phi_2 & 0\\

\end{array}\right]

\left[\begin{array}{ccc}

y_t\\

\phi_2 y_{t-1} + \theta_1 \eta'_t\\

\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}

1\\

\theta_1\\

\end{array}\right] \eta'_{t+1}\\

\eta'_{t+1} & \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)

\end{split}\end{split}\]

你可能注意到状态转移函数与前面的定义略有不同,因为转换噪声不是从多元高斯分布中抽取的。 \(\eta\) 的协方差矩阵是 \(\mathbf{Q}_t = \mathbf{A} \sigma^2 \mathbf{A}^T\) ,在当前情况下,会产生奇异的随机变量 \(\eta\) 。但无论如何,我们现在可以在 TFP 中定义模型了。例如,在代码 tfd_lgssm_arma_simulate 中,我们定义了一个 \(ARMA(2,1)\) 模型,其中 \(\phi = [-0.1, 0.5]\) 、 \(\theta = -0.25\) 、 \(\sigma = 1.25\) ,并抽取了一个随机时间序列。

Listing 94 tfd_lgssm_arma_simulate¶

num_timesteps = 300

phi1 = -.1

phi2 = .5

theta1 = -.25

sigma = 1.25

# X_0

initial_state_prior = tfd.MultivariateNormalDiag(

scale_diag=[sigma, sigma])

# F_t

transition_matrix = lambda _: tf.linalg.LinearOperatorFullMatrix(

[[phi1, 1], [phi2, 0]])

# eta_t ~ Normal(0, Q_t)

R_t = tf.constant([[sigma], [sigma*theta1]])

Q_t_tril = tf.concat([R_t, tf.zeros_like(R_t)], axis=-1)

transition_noise = lambda _: tfd.MultivariateNormalTriL(

scale_tril=Q_t_tril)

# H_t

observation_matrix = lambda t: tf.linalg.LinearOperatorFullMatrix(

[[1., 0.]])

# epsilon_t ~ Normal(0, 0)

observation_noise = lambda _: tfd.MultivariateNormalDiag(

loc=[0.], scale_diag=[0.])

arma = tfd.LinearGaussianStateSpaceModel(

num_timesteps=num_timesteps,

transition_matrix=transition_matrix,

transition_noise=transition_noise,

observation_matrix=observation_matrix,

observation_noise=observation_noise,

initial_state_prior=initial_state_prior

)

sim_ts = arma.sample() # Simulate from the model

添加适当先验并做一些重写可以更好地处理张量的形状,我们在代码 tfd_lgssm_arma_with_prior 中得到了一个完整的生成式 \(ARMA(2,1)\) 模型。

由于使用了 tfd.JointDistributionCoroutine 模型,因此对(模拟的)数据 sim_ts 和推断进行调整比较简单。请注意,未知参数并非隐状态 \(X_t\) 的一部分,因此不能像卡尔曼滤波那样做贝叶斯滤波推导,而是使用标准的 MCMC 方法进行推断。 Fig. 116 中展示了其后验样本的轨迹图。

Listing 95 tfd_lgssm_arma_with_prior¶

@tfd.JointDistributionCoroutine

def arma_lgssm():

sigma = yield root(tfd.HalfStudentT(df=7, loc=0, scale=1., name="sigma"))

phi = yield root(tfd.Sample(tfd.Normal(0, 0.5), 2, name="phi"))

theta = yield root(tfd.Sample(tfd.Normal(0, 0.5), 1, name="theta"))

# Prior for initial state

init_scale_diag = tf.concat([sigma[..., None], sigma[..., None]], axis=-1)

initial_state_prior = tfd.MultivariateNormalDiag(

scale_diag=init_scale_diag)

F_t = tf.concat([phi[..., None],

tf.concat([tf.ones_like(phi[..., 0, None]),

tf.zeros_like(phi[..., 0, None])],

axis=-1)[..., None]],

axis=-1)

transition_matrix = lambda _: tf.linalg.LinearOperatorFullMatrix(F_t)

transition_scale_tril = tf.concat(

[sigma[..., None], theta * sigma[..., None]], axis=-1)[..., None]

scale_tril = tf.concat(

[transition_scale_tril,

tf.zeros_like(transition_scale_tril)],

axis=-1)

transition_noise = lambda _: tfd.MultivariateNormalTriL(

scale_tril=scale_tril)

observation_matrix = lambda t: tf.linalg.LinearOperatorFullMatrix([[1., 0.]])

observation_noise = lambda t: tfd.MultivariateNormalDiag(

loc=[0], scale_diag=[0.])

arma = yield tfd.LinearGaussianStateSpaceModel(

num_timesteps=num_timesteps,

transition_matrix=transition_matrix,

transition_noise=transition_noise,

observation_matrix=observation_matrix,

observation_noise=observation_noise,

initial_state_prior=initial_state_prior,

name="arma")

Fig. 116 代码 tfd_lgssm_arma_with_prior 中的 \(ARMA(2,1)\) 模型 arma_lgssm 的 MCMC 采样结果,以代码 tfd_lgssm_arma_simulate 中生成的模拟数据 sim_ts 为条件。参数的真实值在后验密度图中绘制为垂线,在轨迹图中绘制为水平线。¶

结合在预处理阶段对观测时间序列的差分处理,我们可以进一步将该形式用于 \(d>0\) 的 ARIMA 建模。状态空间模型的表达形式提供了一个很重要的优势:我们可以更直接、更直观地写下生成过程,而无需在数据预处理步骤中的重复 \(d\) 次差分。

例如,考虑用 \(d=1\) 扩展上面的 \(ARMA(2,1)\) 模型,有 \(\Delta y_t = y_t - y_{t-1}\),这意味着 \(y_t = y_{t-1} + \Delta y_t\),我们可以将观测矩阵定义为 \(\mathbf{H}_t = [1, 1, 0]\) ,其中隐状态 \(X_t\) 和状态转移矩阵为:

(67)¶\[\begin{split}\begin{split}

\left[\begin{array}{ccc}

y_{t-1} + \Delta y_t \\

\phi_1 \Delta y_t + \phi_2 \Delta y_{t-1} + \eta'_{t+1} + \theta_1 \eta'_t\\

\phi_2 \Delta y_t + \theta_1 \eta'_{t+1}\\

\end{array}\right] & =

\left[\begin{array}{ccc}

1 & 1 & 0 \\

0 & \phi_1 & 1\\

0 & \phi_2 & 0\\

\end{array}\right]

\left[\begin{array}{ccc}

y_{t-1}\\

\Delta y_t \\

\phi_2 \Delta y_{t-1} + \theta_1 \eta'_t\\

\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}

0 \\

1 \\

\theta_1\\

\end{array}\right] \eta'_{t+1}

\end{split}\end{split}\]

如你所见,虽然参数化导致了更大的隐状态向量 \(X_t\),但参数数量保持不变。此外,该模型在 \(y_t\) 而不是 \(\Delta y_t\) 中是生成式的。上述方法在指定初始状态 \(X_0\) 的分布时可能存在挑战,因为第一个元素 ( \(y_0\) ) 现在是非平稳的。在实践中,可以在中心化处理之后,围绕时间序列的初始值分配一个信息性先验。你可以在 Durbin and Koopman [61] 中找到有关此主题的更多讨论,以及对状态空间模型的深入介绍。

6.4.3 贝叶斯结构化的时间序列¶

时间序列模型的线性高斯状态空间表达形式具有另一个优点,即它很容易与其他线性高斯状态空间模型一起扩展。为了将两个模型组合在一起,可以对隐空间中的两个高斯随机变量做连接。我们使用两个协方差矩阵生成一个块对角矩阵,连接事件轴上的均值。在观测空间中,该操作相当于对两个高斯随机变量求和。

更具体地说,有:

(68)¶\[\begin{split}\begin{split}

\mathbf{F}_t & = \left[\begin{array}{ccc}

\mathbf{F}_{\mathbf{1}, t} & 0 \\

0 & \mathbf{F}_{\mathbf{2}, t}\\

\end{array}\right],

\mathbf{Q}_t = \left[\begin{array}{ccc}

\mathbf{Q}_{\mathbf{1}, t} & 0 \\

0 & \mathbf{Q}_{\mathbf{2}, t}\\

\end{array}\right],

X_t = \left[\begin{array}{ccc}

X_{1,t} \\

X_{2,t}\\

\end{array}\right] \\

\mathbf{H}_t & = \left[\begin{array}{ccc}

\mathbf{H}_{\mathbf{1}, t} & \mathbf{H}_{\mathbf{2}, t} \\

\end{array}\right],

\mathbf{R}_t = \mathbf{R}_{\mathbf{1}, t} + \mathbf{R}_{\mathbf{2}, t}\\

\end{split}\end{split}\]

如果有一个不是线性高斯的时间序列模型 \(\mathcal{M}\) ,我们也可以将其合并到状态空间模型中。

为此,可以将每个时间步中来自模型 \(\mathcal{M}\) 的预测 \(\hat{\psi}_t\) 视为静态的已知值,并将其添加到观测噪声分布 \(\epsilon_t \sim N( \hat{\mu}_t + \hat{\psi}_t, R_t)\) 中。从概念上讲,我们可以将其理解为从 \(Y_t\) 中减去模型 \(\mathcal{M}\) 的预测,然后对结果进行建模,因此卡尔曼滤波器和其他线性高斯状态空间模型属性仍然成立。

这种 可组合性 的能力,使我们能够轻松地由多个小型线性高斯状态空间模型分量来构建更复杂的时间序列模型。我们可以分别为趋势性分量、季节性分量和误差项分别提供状态空间表示,并将其组合成通常所说的结构化时间序列模型或动态线性模型。 TFP 的 tfp.sts 模块提供了一种非常方便的方法来构建贝叶斯结构化时间序列,同时它还提供了用于解构分量、预测、推断和各种诊断的辅助函数。

例如,可以使用具有局部线性趋势性分量和季节性分量的结构化时间序列对每月出生数据进行建模,以解释代码 tfp_sts_example2 中的月模式。

Listing 96 tfp_sts_example2¶

def generate_bsts_model(observed=None):

"""

Args:

observed: Observed time series, tfp.sts use it to generate prior.

"""

# Trend

trend = tfp.sts.LocalLinearTrend(observed_time_series=observed)

# Seasonal

seasonal = tfp.sts.Seasonal(num_seasons=12, observed_time_series=observed)

# Full model

return tfp.sts.Sum([trend, seasonal], observed_time_series=observed)

observed = tf.constant(us_monthly_birth["birth_in_thousands"], dtype=tf.float32)

birth_model = generate_bsts_model(observed=observed)

# Generate the posterior distribution conditioned on the observed

target_log_prob_fn = birth_model.joint_log_prob(observed_time_series=observed)

我们可以检查 birth_model 中的每个分量:

Listing 97 tfp_sts_model¶

birth_model.components

[,

]

每个分量都由一些超参数参数化,这些超参数是我们想要进行推断的未知参数。它们不是隐状态 \(X_t\) 的组成部分,但有可能参数化生成 \(X_t\) 的先验。例如,我们可以检查季节性分量的参数:

Listing 98 tfp_sts_model_component¶

birth_model.components[1].parameters

[Parameter(name='drift_scale', prior=

'Seasonal_LogNormal' batch_shape=[] event_shape=[] dtype=float32>,

bijector=)]

这里 STS 模型的季节性分量包含 \(12\) 个隐状态(每个月一个),但该分量仅包含 \(1\) 个参数(参数化隐状态的超参数)。你可能已经从上一节中的示例中注意到了未知参数的处理方式有所不同。在线性增长模型中,未知参数是隐状态 \(X_t\) 的组成部分,但在 ARIMA 模型中,未知参数参数化了 \(\mathbf{F}_t\) 和 \(\mathbf{Q}_t\)。对于后者,不能使用卡尔曼滤波器来推断这些参数。取而代之,隐状态被高效地边缘化了,不过我们仍然能够在推断完成后,通过运行以后验分布为条件的卡尔曼滤波器(表示为蒙特卡洛样本)来恢复它们。参数化的概念描述可以参见 Fig. 117 。

Fig. 117 贝叶斯结构化时间序列(蓝色框)与线性高斯状态空间模型(红色框)之间的关系。此处显示的线性高斯状态空间模型是一个包含局部线性趋势性分量、季节性分量和自回归分量的例子。¶

对结构化时间序列模型进行推断,在概念上可以理解为:从要推断的参数生成线性高斯状态空间模型、运行卡尔曼滤波器以获得数据似然、结合以参数当前值为条件的先验对数似然。不幸的是,遍历每个数据点的操作在计算上相当昂贵(尽管卡尔曼滤波器已经是一种非常有效的算法),因此在运行长时间序列时,拟合结构化时间序列可能无法很好地做相应大规模扩展。

在对结构化时间序列模型进行推断之后,我们可以使用来自 tfp.sts 的一些实用函数来预测和检查每个被推断的分量,见代码 tfp_sts_example2_result ,其结果显示在 Fig. 118 中。

Listing 99 tfp_sts_example2_result¶

# Using a subset of posterior samples.

parameter_samples = [x[-100:, 0, ...] for x in mcmc_samples]

# Get structual compoenent.

component_dists = tfp.sts.decompose_by_component(

birth_model,

observed_time_series=observed,

parameter_samples=parameter_samples)

# Get forecast for n_steps.

n_steps = 36

forecast_dist = tfp.sts.forecast(

birth_model,

observed_time_series=observed,

parameter_samples=parameter_samples,

num_steps_forecast=n_steps)

birth_dates = us_monthly_birth.index

forecast_date = pd.date_range(

start=birth_dates[-1] + np.timedelta64(1, "M"),

end=birth_dates[-1] + np.timedelta64(1 + n_steps, "M"),

freq="M")

fig, axes = plt.subplots(

1 + len(component_dists.keys()), 1, figsize=(10, 9), sharex=True)

ax = axes[0]

ax.plot(us_monthly_birth, lw=1.5, label="observed")

forecast_mean = np.squeeze(forecast_dist.mean())

line = ax.plot(forecast_date, forecast_mean, lw=1.5,

label="forecast mean", color="C4")

forecast_std = np.squeeze(forecast_dist.stddev())

ax.fill_between(forecast_date,

forecast_mean - 2 * forecast_std,

forecast_mean + 2 * forecast_std,

color=line[0].get_color(), alpha=0.2)

for ax_, (key, dist) in zip(axes[1:], component_dists.items()):

comp_mean, comp_std = np.squeeze(dist.mean()), np.squeeze(dist.stddev())

line = ax_.plot(birth_dates, dist.mean(), lw=2.)

ax_.fill_between(birth_dates,

comp_mean - 2 * comp_std,

comp_mean + 2 * comp_std,

alpha=0.2)

ax_.set_title(key.name[:-1])

Fig. 118 使用带有代码 tfp_sts_example2_result 的 tfp.sts API 来推断美国(1948-1979 年)每月活产的结果和预测。顶图:\(36\) 个月的预测;下部的两个图:时间序列的结构化分解。¶

6.5 其他时间序列模型¶

虽然 结构化时间序列模型 和 线性高斯状态空间模型 强大且富有表现力,但它们无法满足我们的所有需求。因此有很多在其基础上的扩展,例如:

扩展卡尔曼滤波 :可用于 非线性高斯状态空间模型 中 \(X_t\) 的推断。注:非线性指状态空间模型中的转移函数和观测函数是可微分的非线性函数。

无损卡尔曼滤波:可用于推断非高斯非线性模型 [62] 。

粒子滤波:可以作为状态空间模型的一般性滤波方法 [63] 。

隐马尔可夫模型:一种具有离散状态空间的状态空间模型。

另外,还存在一些模型推断的专用算法,例如:

前向后向算法:用于计算边缘后验似然。

Viterbi 算法:用于计算后验的众数。

此外,还有作为连续时间模型的常微分方程 (ODE) 和随机微分方程 (SDE)。

在 Table 14 中,我们按照随机性和时间处理方式对模型进行了大致划分。它们都是经过深入研究的主题,在 Python 计算生态系统中具有易于使用的实现。

Table 14 按随机性和时间处理分类的各种时间序列模型¶

Deterministic dynamics

Stochastic dynamics

Discrete time

automata / discretized ODEs

state space models

Continuous time

ODEs

SDEs

`

6.6 时间序列模型的评判和先验选择¶

在 Box et al. [57] 的开创性时间序列书中 15 ,概述了时间序列建模的五个重要实际问题:

预测

转移函数的估计

异常干预事件对系统的影响分析

多元时间序列分析

离散控制系统

大多数时间序列问题旨在执行某种预测(或即时预测,你试图在瞬时时间 \(t\) 推断一些由于获取测量滞后而尚不可用的观测量),这自然地建立了一个时间序列分析问题的模型评估标准。虽然我们在本章中没有围绕贝叶斯决策理论进行特定处理,但值得引用 West and Harrison [59] 的内容:

良好的建模需要认真思考,而良好的预测需要对预测在决策系统中的作用有一个综合认识。

6.6.1 时间序列模型的评估¶

(1) 绝对值百分比均值误差(MAPE)

在实践中,对 时间序列模型推断的评判 和 对预测的评估 应当与决策过程紧密结合,尤其是如何将不确定性纳入决策。虽然如此,我们还是能够单独对预测性能进行评估的。通常这种评估是通过收集新数据或留出一些测试数据来实现的,就像在本章对 \(\text{CO}_2\) 示例所做的那样,使用标准指标将观测结果与预测结果进行比较。其中有一种流行的选择是计算绝对值百分比均值误差 (MAPE):

(69)¶\[MAPE = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{|\text{forecast}_i - \text{observed}_i|}{\text{observed}_i}\]

显然 MAPE 存在一些偏差,例如,在取值较低的观测中,一旦出现较大误差就会显著影响 MAPE 值。此外,当观测值范围差异较大时,难以跨多个时间序列进行 MAPE 比较。

基于交叉验证的模型评估方法仍然适用并推荐用于时间序列模型。但如果目标是评估对未来时间点的预测性能,则将 LOO 用于单个时间序列是有问题的。每次简单地留出一个观测值的方法没有考虑到数据(或模型)的时间结构。例如,如果你删除一个点 \(t\) 并将其余点用于预测而不考虑时间结构,那么你可以使用过去的点 \(t_{-1}, t_{-2}, ...\) 预测未来,但理论上你也可以使用未来的点 \(t_{+1}, t_{+2}, ...\) 来预测过去。因此,我们可以计算 LOO,但对其结果的解释将是荒谬的,会产生误导。

在时间序列模型的评估中,我们不需要留出一个(或一些)时间点,而是需要某种将未来数据留出的交叉验证形式( Leave-Future-Out Cross-Validation, LFO-CV ),参见 Bürkner et al. [64]。其大概意思是,在初始模型推断之后,为了提前一步做出近似预测,可以在留出的时间序列上或未来观测数据上进行迭代,并基于对数预测密度做出量化评估;当某个时间点的帕雷托 \(k\) 估计值超出指定阈值时,将其纳入训练集重新拟合模型 16。 因此,LFO-CV 不是针对某个单一预测任务的交叉验证方法,而是面向未来时间点的各种可能预测任务的交叉验证方法。

6.6.2 时间序列模型的先验¶

在 6.2.3 基函数和广义可加模型 部分中,我们将正则化先验(拉普拉斯先验)用于阶跃线性函数的斜率,以表达我们的先验知识,即斜率变化通常很小且接近于零,因此产生的潜在趋势更为平滑。

(1)对假日事件的先验建模

正则化先验(或稀疏先验)还常用于对假日(或其他特殊日子)事件建模。通常每个假日都有自己的系数,如果我们想表达一个先验,即表明某些假日可能会对时间序列产生巨大影响,而其他大多数假日有普通日子一样,那么可以使用马蹄形先验 [65, 66] 将这种直觉形式化,如公式 (70) 所示:

(70)¶\[\begin{split}\begin{split}

\lambda_t^2 \sim& \mathcal{H}\text{C}(1.) \\

\beta_t \sim& \mathcal{N}(0, \lambda_t^2 \tau^2)

\end{split}\end{split}\]

马蹄形先验中的全局参数 \(\tau\) 将假日效应的系数全都拉向零。同时,局部尺度参数 \(\lambda_t\) 的重尾,使得在这种收缩中产生了一些暴发效应。我们可以调整 \(\tau\) 值来适应不同程度的稀疏性:\(\tau\) 越接近于零,假日效应 \(\beta_t\) 的收缩越趋向于零,而较大的 \(\tau\) 则对应一个更为分散的先验 [67] 17。例如,在 Riutort-Mayol et al. [68] 的案例研究 \(2\) 中,他们为一年中的每一天(包括闰日为 366 天)添加了一个特殊的日效应,并在对其进行正则化之前使用了马蹄形分布。

(2)对观测噪声的先验建模

时间序列模型先验的另一个重要考虑因素是观测噪声的先验。大多数时间序列数据本质上是非重复测量。我们根本无法及时返回并在确切条件下进行另一次观测(即,我们无法量化偶然不确定性)。这意味着我们的模型需要先验信息才能“确定”噪声是来自测量还是来自隐过程(即 epistemic 不确定性)。例如,在具有隐自回归分量或局部线性趋势模型的时间序列模型中,我们可以将更多信息先验放在观测噪声上,以将其调节为更小的值。这将“推动”趋势或自回归分量以过度拟合潜在的漂移模式,并且我们可能对趋势有更好的预测(短期内预测准确性更高)。风险在于我们对潜在趋势过于自信,从长远来看,这可能会导致预测不佳。在时间序列很可能是非平稳的实际应用程序中,我们应该准备好相应地调整先验。

习题¶

6E1. As we explained in Box Parsing timestamp to design matrix above, date information could be formatted into a design matrix for regression model to account for the periodic pattern in a time series. Try generating the following design matrix for the year 2021.

Hint: use Code Block timerange_2021 to generate all time stamps for 2021:

Listing 100 timerange_2021¶

datetime_index = pd.date_range(start="2021-01-01", end="2021-12-31", freq='D')

A design matrix for day of the month effect.

A design matrix for weekday vs weekend effect.

Company G pay their employee on the 25th of every month, and if the 25th falls on a weekend, the payday is moved up to the Friday before. Try to create a design matrix to encode the pay day of 2021.

A design matrix for the US Federal holiday effect 18 in 2021.

Create the design matrix so that each holiday has their individual coefficient.

6E2. In the previous exercise , the design matrix for holiday effect treat each holiday separately. What if we consider all holiday effects to be the same? What is the shape of the design matrix if we do so? Reason about how does it affects the fit of the regression time series model.

6E3. Fit a linear regression to the "monthly_mauna_loa_co2.csv" dataset:

A plain regression with an intercept and slope, using linear time as predictor.

A covariate adjusted regression like the square root predictor in the baby example in Chapter 4 Code Block babies_transformed.

Explain what these models are missing compared to Code Block regression_model_for_timeseries.

6E4. Explain in your own words the difference between regression, autoregressive and state space architectures. In which situation would each be particularly useful.

6M5. Does using basis function as design matrix actually have better condition number than sparse matrix? Compare the condition number of the following design matrix of the same rank using numpy.linalg.cond:

Dummy coded design matrix seasonality_all from Code Block generate_design_matrix.

Fourier basis function design matrix X_pred from Code Block gam.

An array of the same shape as seasonality_all with values drawn from a Normal distribution.

An array of the same shape as seasonality_all with values drawn from a Normal distribution and one of the column being identical to another.

6M6. The gen_fourier_basis function from Code Block fourier_basis_as_seasonality takes a time index t as the first input. There are a few different ways to represent the time index, for example, if we are observing some data monthly from 2019 January for 36 months, we can code the time index in 2 equivalent ways as shown below in Code Block exercise_chap4_e6:

Listing 101 exercise_chap4_e6¶

nmonths = 36

day0 = pd.Timestamp('2019-01-01')

time_index = pd.date_range(

start=day0, end=day0 + np.timedelta64(nmonths, 'M'),

freq='M')

t0 = np.arange(len(time_index))

design_matrix0 = gen_fourier_basis(t0, p=12, n=6)

t1 = time_index.month - 1

design_matrix1 = gen_fourier_basis(t1, p=12, n=6)

np.testing.assert_array_almost_equal(design_matrix0, design_matrix1)

What if we are observing the data daily? How would you change the Code Block exercise_chap4_e6 to:

Make time_index represent day of the year instead of month of the year.

Modify the function signature to gen_fourier_basis in line 8 and 10 so that the resulting design matrices coded for the month of the year effect.

How does the new design_matrix0 and design_matrix1 differ? How is the differences would impact the model fitting? Hint: validate your reasoning by multiplying them with the same random regression coefficient.

6E7. In Section 6.3 自回归模型 we introduced the backshift operator \(\mathbf{B}\). You might have already noticed that applying the operation \(\mathbf{B}\) on a time series is the same as performing a matrix multiplication. We can generate a matrix \(\mathbf{B}\) explicitly in Python. Modify Code Block ar1_without_forloop to use an explicit \(\mathbf{B}\) constructed in NumPy or TensorFlow.

6E8. The step linear function as defined in Equation (48) and Code Block step_linear_function_for_trend rely on a key regression coefficient \(\delta\). Rewrite the definition so that it has a similar form compare to other linear regression:

\[g(t) = \mathbf{A}^\prime \delta^\prime \]

Find the appropriate expression of design matrix \(\mathbf{A}^\prime\) and coefficient \(\delta^\prime\).

6E9. As we have seen in past chapters, a great way to understand your data generating process is to write it down. In this exercise we will generate synthetic data which will reinforce the mapping of “real world” ideas to code. Assume we start with a linear trend that is y = 2x, x = np.arange(90), and iid noise at each time point draw from a \(\mathcal{N}(0, 1)\). Assume that this time series starts on Sunday June 6 2021. Generate 4 synthetic datasets that include:

An additive weekend effect where weekends have 2x more volume than weekdays.

An additive sinusoidal effect of sin(2x).

An additive AR(1) latent process with autoregressive coefficient of your choice and a noise scale \(\sigma = 0.2\).

A time series with weekend and sinusoidal effect from (1) and (2), and an AR(1) process on the mean of the time series with the same autoregressive coefficient as in (3)

6E10. Adapt the model in Code Block gam_with_ar_likelihood to model the generated time series in 6E9 (4).

6E11. Inspection of the inference result (MCMC trace and diagnostic) of models in this chapter using ArviZ. For example, look at:

Trace plot

Rank plot

Summary of posterior sample

Which model contains problematic chains (divergence, low ESS, large \(\hat R\))? Could you find ways to improve the inference for those models?

6M12. Generate a sinusoidal time series with 200 time points in Python, and fit it with a AR(2) model. Do that in TFP by modifying Code Block ar1_without_forloop and in PyMC3 with pm.AR API.

6M13. This is an exercise of posterior predictive check for AR models. Generate the prediction distribution at each time step \(t\) for the AR2 model in Exercise 6M11. Note that for each time step \(t\) you need to condition on all the observations up to time step \(t-1\). Does the one-step-ahead predictive distribution match the observed time series?

6M14. Make forecast for 50 time steps using the AR2 models from Exercise 6M11. Does the forecast also look like a sinusoidal signal?

6H15. Implement the generative process for the \(\text{SARIMA}(1, 1, 1)(1, 1, 1)_{12}\) model, and make forecast.

6M16. Implement and inference a \(ARIMAX(1,1,1)X[4]\) model for the monthly birth dataset in this chapter, with the design matrix generated from a Fourier basis functions with \(N=2\).

6H17. Derive the Kalman filter equations. Hint: first work out the joint distribution of \(X_t\) and \(X_{t-1}\), and then follow with the joint distribution of \(Y_t\) and \(X_t\). If you are still stuck take at look at Chapter 4 in Särkkä’s book [60].

6M18. Inspect the output of linear_growth_model.forward_filter by indexing to a given time step:

Identify the input and output of one Kalman filter step;

Compute one step of the Kalman filter predict and update step using the input;

Assert that your computation is the same as the indexed output.

6M19. Study the documentation and implementation of tfp.sts.Seasonal, and answer the following questions:

How many hyperparameters does a seasonal SSM contains?

How does it parameterized the latent states and what kind of regularization effect does the prior has? Hint: draw connection to the Gaussian Random Walk prior in Chapter 5.

6M20. Study the documentation and implementation of tfp.sts.LinearRegression and tfp.sts.Seasonal, and reason about the differences of SSM they represent when modeling a day of the week pattern:

How is the day of the week coefficient represented? Are they part of the latent states?

How is the model fit different between the two SSMs? Validate your reasoning with simulations.

参考文献¶

https://github.com/asael697/bayesforecast.

1

https://quoteinvestigator.com/2013/10/20/no-predict/

2

There is also a subtlety that not all periodic patterns in the time series should be considered seasonal. A useful distinction to make is between cyclic and seasonal behavior. You can find a nice summary in https://robjhyndman.com/hyndsight/cyclicts/.

3

This makes the observation not iid and not exchangeable. You can also see in Chapter 4 where we define residuals

4

Which, it is unfortunate for our model and for our planet.

5

A series is stationary if its characteristic properties such as means and covariances remain invariant across time.

6

https://facebook.github.io/prophet/.

7

A demo of the design matrix used in Facebook Prophet could be found in http://prophet.mbrouns.com from a PyMCon 2020 presentation.

8

That is why is called autoregressive, it applies a linear regression to itself. Hence the similar naming to the autocorrelation diagnostic introduced in Section 2.4.5 自相关图.

9

Actually, the AR example in this section is a Gaussian Process.

10

The Stan implementation of SARIMA can be found in e.g.

11

For brevity, we omitted the MCMC sampling code here. You can find the details in the accompanying Jupyter Notebook.

12

It might be useful to first consider “space” here being some multi-dimensional Euclidean spaces, so \(X_t\) and \(Y_t\) is some multi-dimensional array/tensor when we do computations in Python.

13

This also gives a nice example of a non-stationary observation matrix \(\mathbf{H}\).

14

Note that this is not the only way to express ARMA model in a state-space form, for more detail see lecture note http://www-stat.wharton.upenn.edu/~stine/stat910/lectures/14_state_space.pdf.

15

Nothing more puts George E. P. Box’s famous quote: “All models are wrong, but some are useful” into perspective, than reading through his seminal book and working on forecasting problems.

16

For a demonstration see https://mc-stan.org/loo/articles/loo2-lfo.html.

17

Note that in practice we usually parameterize Equation (70) a little bit differently.

18

https://en.wikipedia.org/wiki/Federal_holidays_in_the_United_States#List_of_federal_holidays

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第五章: 样条

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By Martin, Kumar, Lao

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This article includes a list of general references, but it lacks sufficient corresponding inline citations. Please help to improve this article by introducing more precise citations. (April 2016) (Learn how and when to remove this template message)

Bayesian structural time series (BSTS) model is a statistical technique used for feature selection, time series forecasting, nowcasting, inferring causal impact and other applications. The model is designed to work with time series data.

The model has also promising application in the field of analytical marketing. In particular, it can be used in order to assess how much different marketing campaigns have contributed to the change in web search volumes, product sales, brand popularity and other relevant indicators. Difference-in-differences models[1] and interrupted time series designs[2] are alternatives to this approach. "In contrast to classical difference-in-differences schemes, state-space models make it possible to (i) infer the temporal evolution of attributable impact, (ii) incorporate empirical priors on the parameters in a fully Bayesian treatment, and (iii) flexibly accommodate multiple sources of variation, including the time-varying influence of contemporaneous covariates, i.e., synthetic controls."[1]

General model description[edit]

The model consists of three main components:

Kalman filter. The technique for time series decomposition. In this step, a researcher can add different state variables: trend, seasonality, regression, and others.

Spike-and-slab method. In this step, the most important regression predictors are selected.

Bayesian model averaging. Combining the results and prediction calculation.

The model could be used to discover the causations with its counterfactual prediction and the observed data.[1]

A possible drawback of the model can be its relatively complicated mathematical underpinning and difficult implementation as a computer program. However, the programming language R has ready-to-use packages for calculating the BSTS model,[3][4] which do not require strong mathematical background from a researcher.

See also[edit]

Bayesian inference using Gibbs sampling

Correlation does not imply causation

Spike-and-slab regression

References[edit]

^ a b c "Inferring causal impact using Bayesian structural time-series models". research.google.com. Retrieved 2016-04-17.

^ "Interrupted Time-Series Design". Interrupted Time-Series Design. Insights Association. Retrieved 21 March 2019.

^ "bsts" (PDF).

^ "CausalImpact". google.github.io. Retrieved 2016-04-17.

Further reading[edit]

Scott, S. L., & Varian, H. R. 2014a. Bayesian variable selection for nowcasting economic time series. Economic Analysis of the Digital Economy.

Scott, S. L., & Varian, H. R. 2014b. Predicting the present with bayesian structural time series. International Journal of Mathematical Modelling and Numerical Optimisation.

Varian, H. R. 2014. Big Data: New Tricks for Econometrics. Journal of Economic Perspectives

Brodersen, K. H., Gallusser, F., Koehler, J., Remy, N., & Scott, S. L. 2015. Inferring causal impact using Bayesian structural time-series models. The Annals of Applied Statistics.

R package "bsts".

R package "CausalImpact".

O’Hara, R. B., & Sillanpää, M. J. 2009. A review of Bayesian variable selection methods: what, how and which. Bayesian analysis.

Hoeting, J. A., Madigan, D., Raftery, A. E., & Volinsky, C. T. 1999. Bayesian model averaging: a tutorial. Statistical science.

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Bayesian_structural_time_series&oldid=1143054281"

Categories: Machine learningBayesian statisticsTime seriesHidden categories: Articles lacking in-text citations from April 2016All articles lacking in-text citations

This page was last edited on 5 March 2023, at 18:06 (UTC).

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跟着开源项目学因果推断——CausalImpact 贝叶斯结构时间序列模型(二十一) - 知乎

跟着开源项目学因果推断——CausalImpact 贝叶斯结构时间序列模型(二十一) - 知乎首发于因果推断&案例集锦切换模式写文章登录/注册跟着开源项目学因果推断——CausalImpact 贝叶斯结构时间序列模型(二十一)悟乙己野生工程师,要说不务正业,还真是不务正业!先把暂时学习笔记放上来,后面还会对google的贝叶斯结构时序多了解一些1 Causal Impact与贝叶斯结构时间序列模型1.1 观测数据下Causal Impact的背景由来下图汇总了目前解决各个分析场景的方法论框架: 一些无法进行随机实验的场景下,会需要合成控制的方式大部分运营和产品在评估效果时,最常用的方法就是effect = 上线后效果-上线前效果。这种方法最大的问题在于其关键假设,即上线的功能或者活动是唯一影响效果的变量。但是想想就知道这个假设是有多么不合理。升级版的评估方案,可能会找到一个城市或者大盘来和上线的城市做对比,这种想法非常类似DID,但是这个里面也隐含着一个关键假设,即可以找到长期变化趋势高度同步的城市,这点对于有较强地域性的商业来说就非常困难。更加升级版的方案可能是不需要找到一个变化趋势非常趋同的城市,而且通过类似集成学习的方法,将多个城市作为输入,并结合自身长期的时间序列波动来拟合出一个策略没上线的虚拟现实。使寻找高度同步的城市从一个强假设变成一个弱假设。Causal Impact就是这种思想的一个具体实践。Causal Impact是基于贝叶斯结构时间序列模型,会综合多种信息输入结合自身的时间序列来构造一个策略未上线的虚拟值,以一个案例来进行说明。1.2 贝叶斯结构时间序列模型1.3 谷歌的Causal Impact在不能做AB测试的情况下,产品上线后做效果评估一般会直接选择上线前后的指标做对比,但是不同时期的指标本身受到的影响不一样,比如节假日、季节性影响,使得选择上线前后时间段的指标比较主观。 为了准确的量化产品改版的效果,谷歌推出了开源项目causalimpact工具包,该方法基于合成控制法的原理,利用多个对照组数据来构建贝叶斯结构时间序列模型,并调整对照组和实验组之间的大小差异后构建综合时间序列基线,最终预测反事实结果。即如果没有上线这次的产品改版,那么产品指标该是如何走向。那么这次的产品改版对指标的影响大小即是真实值(产品改版后的指标值)和预测值(预测没有改版该时期的指标值)的差距。那么该方法中需要准备:1、时间序列数据待评估指标在每日或每周或每小时的值,作为方法的输入值,该方法会拟合产品上线前的指标数据进行预测,得到新的时间序列,那么这段新的时间序列和产品上线后指标的真实值差距就是该产品改版的效果。2、对照组时间序列在预测前可找到相似趋势的时间序列数据加入模型中,已知相似时间序列可以作为预测序列中的趋势效应,皮尔逊相关系数可以作为时间序列相似性的度量。3、为达到预测准确需要的数据探索时间序列本身是由长期趋势、季节性因素、周期性因素和随机变动因素组成(如下图),为了预测准确,需要识别历史数据的这些特征,才能更准确的预测时间序列。 - 趋势,即在一定时间内的单调性,一般来说斜率是固定的。 - 周期性,与季节性很像,但是它的波动的时间频率不是固定的。因为其波动频率不固定,一般会与趋势一起分析而不做拆分,比如上图中trend曲线,跌落谷底之后又反弹,这种往复的运动,被称之为周期性。 - 季节性,固定长度的变化,就像春夏秋冬的温度变化一样。比如上图中每12个月就会出现一次周期循环,不同年中每个月的值都大致相等。 - 节假日,业务通常也会受节假日的影响最终反映在指标的波动上。为了在历史数据中识别出节假日的效应,模拟数据最好有一年的历史数据。2 一些案例2.1 CausalImpact的时序选择外卖公司在A城对外卖骑手上线了S策略以提升拼单率,由于策略管控类实验不能对骑手进行歧视,因此不能够进行AB实验,必须全量上线,需评估策略效果。CausalImpact构建分为两个步骤:· 控制的时间序列选择:通过dtw算法选择与A城拼单率最相似的时间序列,通过距离的计算得到B城干预前的拼单率时间序列与A城最为接近。· 通过观察拟合后的结果,判断策略是否与显著效果第一张图(original)黑色实线为A城在策略上线前后的实际结果,蓝色虚线为根据B城拟合的A城结果,也就是模拟的策略未上线时A城结果,蓝色区域为置信区间。 第二张图(pointwise)蓝色虚线为A城策略前后拼单率的差值,可以看到策略上线后,拼单率差值是显著为正的。 第三张图(cumulative)蓝色虚线为策略上线后的累加值,是持续增大的,可见策略有明显的正向作用。下图为具体的策略效果:拼单率日均提升3pp 笔者再多解读一些下面的图: - 第一个数据模块:实验最终的平均预测值(prediction)为0.059,平均实际值(actual)为0.088;而累计预测值1.532,累计实际值2.287;这里的平均数据范围就是上述虚线之后的时间段 - 第二个数据模块:经过MCMC估计指标绝对效应(absolute effect)平均增长0.029,累计增长0.755;相对比率(relative effect)平均增长49%,累计增长49% CausalImpact有三个要点: - 一是在模型拟合过程中(original),AA差异的置信区间要始终包含0,相当于模型的拟合误差在我们的接受范围之内,反之则说明模型的拟合误差过大,模型不可信; - 二是策略上线后(pointwise),每天的收益水平是否包含0 ,如果包含0则说明收益是不显著的; - 三是策略长期收益(cumulative),有的策略存在新奇效应,不能得到长期收益,所以需关注累积收益进行决策。2.2 日文案例:CausalImpactの理解と実装論文:https://ai.google/research/pubs/pub41854 python実装:https://github.com/dafiti/causalimpact 案例地址:https://github.com/rmizuta3/causalimpact/blob/master/causalimpact_restaurant.ipynb传统几种在观测数据的工作流(差分差分法+ synthetic control method): - 选择一个以上符合条件的对照组 - 使用synthetic control method来选择对照组(如果一个有多个) synthetic control method是通过使多个对照组的加权之和尽量接近处置组,创建假想未处置时的处置组的方法。 使用DID,比较处理组和在2中制作的对照组上述工作流程的问题点: - 时间序列数据一般都会产生自回归分量,但DID的假设是各时间点独立同分布。 - 由于DID只能观察两点之间的差异,例如,假设活动持续了一周,那么就无法单独观察活动开始和结束前的影响。 - 由于进行synthetic control method→差分的差分法这两个阶段的推算,很难判断哪个阶段的误差影响更大。CausalImpact的方法介绍: - 使用状态空间模型,从对照组中生成未采取措施时的对照组,计算出预测值。 - 将其与实际处置组的值进行比较,计算出因果效果。CausalImpact的亮点: - 使用状态空间模型可以考虑自回归成分和季节性等时间序列因素 - 可以确认时间序列中每一点的影响 - synthetic control method的部分和DID所做的事情用一个状态空间模型来覆盖,所以很容易知道哪个部分发生了误差。了解模型的不确定性。使用的数据和上次使用差分差分法时一样,使用Recruit Restaurant Visitor Forecasting餐厅的来店人数数据,来测定某店铺在盂兰盆节期间(8/11-20)的影响效果。两家店铺的布局图是这样的。 这里是数据处理的过程:df=pd.read_csv("air_visit_data.csv",parse_dates=["visit_date"])

#元のデータは欠損があるため日時のベースを作成

basedate=pd.DataFrame(list(pd.date_range('2016-05-01', '2016-08-20')))

basedate.columns=["visit_date"]

#店舗を指定、日時を限定

store1=df[df["air_store_id"]=="air_e55abd740f93ecc4"]

store1=store1[(store1["visit_date"]>="2016-05") & (store1["visit_date"]<="2016-08-20")]

store2=df[df["air_store_id"]=="air_1653a6c513865af3"]

store2=store2[(store2["visit_date"]>="2016-05") & (store2["visit_date"]<="2016-08-20")]

#データを結合

store1.rename(columns={"visitors":"visitors_store1"},inplace=True)

store2.rename(columns={"visitors":"visitors_store2"},inplace=True)

data=pd.merge(basedate,store1[["visit_date","visitors_store1"]],on="visit_date",how="left")

data=pd.merge(data,store2[["visit_date","visitors_store2"]],on="visit_date",how="left")

data=data.interpolate() #欠損値を線形補間

data=data.set_index("visit_date")pre_period 和 post_period 分别代表观测时间段,预测时间段; 因为按周来看影响,所以这里nseason为7。from causalimpact import CausalImpact

pre_period = ['2016-05-01', '2016-08-10']

post_period = ['2016-08-11', '2016-08-20']

ci = CausalImpact(data, pre_period, post_period,nseasons=[{'period': 7}],trend=True)

print(ci.summary()) 盂兰盆节的效果是平均13.7人,10天累积下来有137人的效果。 使用DID时,得出的数值是13.5人,所以得出的数值差不多。95%置信区间也算出来了,累计来看48.0 ~ 228.3,可以看出结构模型并不稳定。 能看到结果有多不确定性是很好的。 第一张图中y是处置组,Predicted是状态空间模型的预测值,有颜色的部分是预测值的置信区间。 第二个图表表示第一个图表的y-Predicted。 第三个图表表示处置期间y-Predicted的累计和。顺便说一下,CausalImpact包含了UnobservedComponents,可以查看状态空间模型本身的结果。ci.trained_model.summary()因为创建的状态空间模型的观测误差很大,所以置信区间变得很广。CausalImpact通常需要输入对照组,但如果没有也可以使用。 这种情况下状态空间模型从实验组的时序开始进行拟合创建。pre_period = ['2016-05-01', '2016-08-10']

post_period = ['2016-08-11', '2016-08-20']

ci = CausalImpact(data.iloc[:,0], pre_period, post_period,nseasons=[{'period': 7}])

ci.plot(figsize=(12, 6)) 这次的例子和加入对照组的结果没有太大区别。如果对照组可以输入多个数据,结果可能会比较稳定。很高兴能得出效果的置信区间 因为可以对每一个点进行推测,所以也可以看到处理区间内的变化,这似乎不错。 当你不能输入多个对象时,它可能不会发挥作用。2.3 [翻译]R语言案例:An R package for causal inference using Bayesian structural time-series models该包的设计目的是使反事实推理像拟合回归模型一样简单,但在满足上述假设的情况下,功能要强大得多。该包只有一个入口点,即函数CausalImpact()。给定一个响应时间序列和一组控制时间序列,该函数构造一个时间序列模型,对反事实进行后验推理,并返回一个CausalImpact对象。结果可以用表格、文字描述或图表来概括。# 创建数据

set.seed(1)

x1 <- 100 + arima.sim(model = list(ar = 0.999), n = 100)

y <- 1.2 * x1 + rnorm(100)

y[71:100] <- y[71:100] + 10

data <- cbind(y, x1)

pre.period <- c(1, 70)

post.period <- c(71, 100)

# 画图

impact <- CausalImpact(data, pre.period, post.period)

plot(impact)默认情况下,该绘图包含三个面板。 第一个面板显示数据和一个反事实的预测后治疗时期。 第二个面板显示了观测数据和反事实预测之间的差异。这是由模型估计的点态因果效应。 第三组将第二组的逐点贡献相加,得出干预的累积效应。记住,再一次,所有以上的推论都依赖于一个假设,即协变量本身不受干预的影响。 该模型还假设在前一时期建立的协变量和处理时间序列之间的关系,在整个后一时期保持稳定。3 官方案例:TensorFlow Causal Impact官网地址:3.1 背景谷歌开发的影响模型的工作原理是将贝叶斯结构时间序列模型与观测数据进行拟合,这些数据后来被用来预测在给定的时间段内,如果没有干预,将会产生什么结果,如下图所示: 这个想法是使用拟合模型的预测(用橙色表示)作为一个参考,在没有干预发生的情况下,可能会观察到什么。贝叶斯结构时间序列模型可以用以下公式表示:$y_t = Z^T_t\alpha_t + \beta X_t + G_t\epsilon_t$ $a_{t+1} = T_t\alpha_t + R_t\eta_t$ $\epsilon_t \sim \mathcal{N}(0, \sigma_t^2)$ $\eta_t \sim \mathcal{N}(0, Q_t)$ a也被称为系列的“状态”,yt是状态的线性组合加上协变量X的线性回归(以及遵循零均值正态分布的测量噪声ϵ)。通过改变矩阵Z、T、G和R,我们可以为时间序列建模几个不同的行为(包括更著名的ARMA或ARIMA)。在这个包中(谷歌的R包也是如此),您可以选择任何您想要适合您的数据的时间序列模型(下面将详细介绍)。如果没有使用模型作为输入,则默认构建一个local level,这意味着yt表示为:$y_t = \mu_t + \gamma_t + \beta X_t + \epsilon_t$ $\mu_{t+1} = \mu_t + \eta_{\mu, t}$ $\mu_t$ 变量,自回归的过程,任何给定的时间点首先由随机游走分量 $\mu_t$ 建模,也被称为“local level”分量,自回归的环节也没有新增什么额外的协变量信息 模拟季节成分的 $\gamma_t$ 变量 我们有分量 $\beta X_t$ 这是协变量的线性回归,进一步有助于解释观测数据。该组件在预测任务中越显著, $\mu_t$ 变量的影响就越小,是有相对关系的。 参数 $\epsilon_t$ 模拟与测量 $y_t$ 相关的噪声,它遵循零均值和 $\sigma_{\epsilon}$ 标准差的正态分布。 生成数据:%matplotlib inline

import sys

import os

sys.path.append(os.path.abspath('../'))

import numpy as np

import pandas as pd

import tensorflow as tf

import tensorflow_probability as tfp

import matplotlib.pyplot as plt

from causalimpact import CausalImpact

tfd = tfp.distributions

plt.rcParams['figure.figsize'] = [15, 10]

# 生成数据

# This is an example presented in Google's R code.

# Uses TensorFlow Probability to simulate a random walk process.

observed_stddev, observed_initial = (tf.convert_to_tensor(value=1, dtype=tf.float32),

tf.convert_to_tensor(value=0., dtype=tf.float32))

level_scale_prior = tfd.LogNormal(loc=tf.math.log(0.05 * observed_stddev), scale=1, name='level_scale_prior')

initial_state_prior = tfd.MultivariateNormalDiag(loc=observed_initial[..., tf.newaxis], scale_diag=(tf.abs(observed_initial) + observed_stddev)[..., tf.newaxis], name='initial_level_prior')

ll_ssm = tfp.sts.LocalLevelStateSpaceModel(100, initial_state_prior=initial_state_prior, level_scale=level_scale_prior.sample())

ll_ssm_sample = np.squeeze(ll_ssm.sample().numpy())

x0 = 100 * np.random.rand(100)

x1 = 90 * np.random.rand(100)

y = 1.2 * x0 + 0.9 * x1 + ll_ssm_sample

y[70:] += 10

data = pd.DataFrame({'x0': x0, 'x1': x1, 'y': y}, columns=['y', 'x0', 'x1'])

data.plot()

plt.axvline(69, linestyle='--', color='k')

plt.legend();3.2 默认模型使用默认的模型:pre_period = [0, 69]

post_period = [70, 99]

ci = CausalImpact(data, pre_period, post_period)

ci.plot()绘制结果时,默认打印三种图形:“原始”系列与预期的系列“点效应”(即原始序列和预测序列之间的差异)最后是“累积”效应,它基本上是点效应随时间累积的总和。您可以选择打印上面图中三个模块的某些模块:ci.plot(panels=['original', 'pointwise'], figsize=(15, 12)) 为了查看一般的结果和数字,你可以调用带有默认输入或“报告”的summary方法,它会打印出观察到的效果的更详细的解释:print(ci.summary())结果为:Posterior Inference {Causal Impact}

Average Cumulative

Actual 106.01 3180.15

Prediction (s.d.) 96.16 (3.6) 2884.67 (107.86)

95% CI [89.16, 103.25] [2674.67, 3097.47]

Absolute effect (s.d.) 9.85 (3.6) 295.49 (107.86)

95% CI [2.76, 16.85] [82.69, 505.48]

Relative effect (s.d.) 10.24% (3.74%) 10.24% (3.74%)

95% CI [2.87%, 17.52%] [2.87%, 17.52%]

Posterior tail-area probability p: 0.0

Posterior prob. of a causal effect: 99.6%

For more details run the command: print(impact.summary('report'))例如,我们可以在这里看到,观察到的绝对效应大约是9,其预测在95%置信区间从2到15之间变化。 这个置信区间的差异,还是蛮大的 当观察这些结果时,一个非常重要的数字是p值, P值通过,可以证明确实存在因果效应的概率(而不仅仅是噪声)。 所以,当作一次假设检验来看。如果你想要一个更详细的总结,运行以下命令:print(ci.summary(output='report'))具体可见:Analysis report {CausalImpact}

During the post-intervention period, the response variable had

an average value of approx. 106.01. By contrast, in the absence of an

intervention, we would have expected an average response of 96.16.

The 95% interval of this counterfactual prediction is [89.16, 103.25].

Subtracting this prediction from the observed response yields

an estimate of the causal effect the intervention had on the

response variable. This effect is 9.85 with a 95% interval of

[2.76, 16.85]. For a discussion of the significance of this effect,

see below.ci还有很多信息,比如,每一个序列的:ci.inferences.head()print('Mean value of noise observation std: ', ci.model_samples[0].numpy().mean())

print('Mean value of level std: ', ci.model_samples[1].numpy().mean())

print('Mean value of linear regression x0, x1: ', ci.model_samples[2].numpy().mean(axis=0))3.3 设定一些规范3.3.1 设定先验标准差这里还可以设定一些数字上的规范,比如先验标准差控制在某个范围内。这里有一个例子:ci = CausalImpact(data, pre_period, post_period, model_args={'prior_level_sd':0.1})

ci.plot(figsize=(15, 12)) 默认值是$0.01$,表示数据表现良好,方差小,并且可以很好地解释协变量。 如果事实证明对于给定的输入数据并非如此,则可以更改本地标准偏差的先验值,以反映数据中的这种模式。 对于$0.1$的值,我们基本上是说,数据中有一个更强的随机游走成分,不能用协变量本身来解释。3.3.2 设定季节因素observed_stddev, observed_initial = (5., 0.)

num_seasons = 7

drift_scale_prior = tfd.LogNormal(loc=tf.math.log(.01 * observed_stddev), scale=1.)

initial_effect_prior = tfd.Normal(loc=observed_initial, scale=tf.abs(observed_initial) + observed_stddev)

initial_state_prior = tfd.MultivariateNormalDiag(loc=tf.stack([initial_effect_prior.mean()] * num_seasons, axis=-1),

scale_diag=tf.stack([initial_effect_prior.stddev()] * num_seasons, axis=-1))

s_ssm = tfp.sts.SeasonalStataeSpaceModel(

num_timesteps=100,

num_seasons=num_seasons,

num_steps_per_season=1,

drift_scale=drift_scale_prior.sample(),

initial_state_prior=initial_state_prior

)

plt.plot(s_ssm.sample());season_data = data.copy()

season_data['y'] += np.squeeze(s_ssm.sample().numpy())

ci = CausalImpact(season_data, pre_period, post_period, model_args={'nseasons': 7})

print(ci.summary())

ci.plot()输出:Posterior Inference {Causal Impact}

Average Cumulative

Actual 103.22 3096.61

Prediction (s.d.) 91.52 (3.48) 2745.52 (104.37)

95% CI [84.63, 98.26] [2538.75, 2947.89]

Absolute effect (s.d.) 11.7 (3.48) 351.09 (104.37)

95% CI [4.96, 18.6] [148.72, 557.85]

Relative effect (s.d.) 12.79% (3.8%) 12.79% (3.8%)

95% CI [5.42%, 20.32%] [5.42%, 20.32%]

Posterior tail-area probability p: 0.0

Posterior prob. of a causal effect: 99.9%

For more details run the command: print(impact.summary('report'))和 3.3.3 按时间进行筛选构造训练集 可以设定index为时间,就可以按照时间筛选pre / post时序数据:dated_data = data.set_index(pd.date_range(start='20200101', periods=len(data)))

pre_period = ['20200101', '20200311']

post_period = ['20200312', '20200409']

figsize = (20, 6)

ci = CausalImpact(dated_data, pre_period, post_period)

ci.plot(figsize=(15, 14))3.4 定制时序模型:线性回归做预测就像在谷歌r包中一样,您也可以在这里选择一个定制的模型,在干预前阶段进行训练。 需要注意的是,如果希望数据标准化,那你给模型的数据就需要标准化了。 此外,模型必须使用dtype 32字节的数据(np.float32或tf.float32),否则,当运行TensorFlow时,它可能无法工作):from causalimpact.misc import standardize

normed_data, _ = standardize(data.astype(np.float32))

obs_data = normed_data.iloc[:70, 0]

linear_level = tfp.sts.LocalLinearTrend(observed_time_series=obs_data)

linear_reg = tfp.sts.LinearRegression(design_matrix=normed_data.iloc[:, 1:].values.reshape(-1, normed_data.shape[1] -1))

model = tfp.sts.Sum([linear_level, linear_reg], observed_time_series=obs_data)

pre_period = [0, 69]

post_period = [70, 99]

ci = CausalImpact(data, pre_period, post_period, model=model)

ci.plot(figsize=(15, 12))

print(ci.summary())3.5 Tensorflow_Probability 时间序列分解gdata = pd.read_csv('../tests/fixtures/google_data.csv', index_col='date')

pre_period = ['2020-01-01', '2020-03-01']

post_period = ['2020-03-02', '2020-03-31']

ci = CausalImpact(gdata, pre_period, post_period)

print('Mean value of noise observation std: ', ci.model_samples['observation_noise_scale'].numpy().mean())

print('Mean value of level std: ', ci.model_samples['LocalLevel/_level_scale'].numpy().mean())

print('Mean value of linear regression x0, x1: ', ci.model_samples['SparseLinearRegression/_weights_noncentered'].numpy().mean(axis=0))

print(ci.summary())从这开始跟原github 里面的notebook不一样,因为版本升级后,默认算法改变,导致效果更好一些 输出结果为:Mean value of noise observation std: 0.9048051

Mean value of level std: 0.009570537

Mean value of linear regression x0, x1: [ 0.15522826 -0.820867 ]

Posterior Inference {Causal Impact}

Average Cumulative

Actual 156.23 4687.0

Prediction (s.d.) 120.98 (5.59) 3629.35 (167.83)

95% CI [112.94, 134.87] [3388.12, 4046.02]

Absolute effect (s.d.) 35.25 (5.59) 1057.65 (167.83)

95% CI [21.37, 43.3] [640.98, 1298.88]

Relative effect (s.d.) 29.14% (4.62%) 29.14% (4.62%)

95% CI [17.66%, 35.79%] [17.66%, 35.79%]

Posterior tail-area probability p: 0.0

Posterior prob. of a causal effect: 100.0%

For more details run the command: print(impact.summary('report'))Tensorflow Probability 有提供了一个分解函数,允许我们研究构成模型的每个组件的状态贡献。 我们可以使用这些信息来创建一个辅助函数plot_components来绘制这些信息:one_step_dists = tfp.sts.decompose_by_component(ci.model, ci.pre_data.iloc[:, 0].astype(np.float32), ci.model_samples)

forecast_dists = tfp.sts.decompose_forecast_by_component(ci.model, ci.posterior_dist, ci.model_samples)

from typing import Dict

def plot_components(index, one_step_dists: Dict[str, tfp.distributions.Distribution],

forecast_dists: Dict[str, tfp.distributions.Distribution],

mu_sig=None):

c0, c1 = 'blue', 'orangered'

num_components = len(one_step_dists)

fig = plt.figure(figsize=(12, 2.5 * num_components))

mu, sig = mu_sig if mu_sig else (0, 1)

for i, component in enumerate(one_step_dists.keys()):

name = component.name

pre_dist = one_step_dists[component]

post_dist = forecast_dists[component]

component_means = np.concatenate([pre_dist.mean(), post_dist.mean()], axis=-1)

component_stddevs = np.concatenate([pre_dist.stddev(), post_dist.stddev()], axis=-1)

ax = fig.add_subplot(num_components, 1, 1 + i)

ax.plot(index, component_means * sig + mu, lw=2, c=c0)

ax.fill_between(index, (component_means - 1.96 * component_stddevs) * sig + mu,

(component_means + 1.96 * component_stddevs) * sig + mu,

color=c1, alpha=0.3)

ax.set_title(name)

fig.tight_layout()

plt.show()

# 趋势分解

plot_components(ci.pre_data.index.union(ci.post_data.index), one_step_dists, forecast_dists, ci.mu_sig) 所以这里就分解为local level模块和常规协变量模块了3.6 statsmodels 时间序列分解在这一部分,我们将与三大公司的股票价值,大众汽车,宝马和Allianz, 以找到大众在排放丑闻(2015.9)后对大众股票的影响data = pd.read_csv('../tests/fixtures/volks_data.csv', header=0, sep=' ', index_col='Date', parse_dates=True)

data.plot();

from statsmodels.tsa.seasonal import seasonal_decompose

result = seasonal_decompose(data.loc[:'2015-09-13'].iloc[:, 0])

result.plot(); 首先,我们可以看到,在2015年9月左右,大众汽车的股价似乎突然下跌,而其他系列保持过去观察到的行为。 这似乎表明,我们可以使用这两只股票作为回归量来帮助预测大众股票应该是什么。 我们要做的第一件事是运行因果推断,只考虑大众的股票价格,看看我们得到了什么pre_period = [str(np.min(data.index.values)), "2015-09-13"]

post_period = ["2015-09-20", str(np.max(data.index.values))]

ci = CausalImpact(data.iloc[:, 0], pre_period, post_period, model_args={'nseasons': 52, 'fit_method': 'vi'})

ci.plot(figsize=(15, 12))这里笔者自己补了一个图,可以看到基本2015.9之后,就开始走下坡路了 3.7 比特币影响案例3.7.1 数据准备找到比特币2020.10之后的波动异常情况:安装一个新库! pip install pandas-datareader下载得到比特币 -> USD的价格: import pandas_datareader as pdr

import datetime

# 比特币数据

btc_data = pdr.get_data_yahoo(['BTC-USD'],

start=datetime.datetime(2018, 1, 1),

end=datetime.datetime(2020, 12, 3))['Close']

btc_data = btc_data.reset_index().drop_duplicates(subset='Date', keep='last').set_index('Date').sort_index()

btc_data = btc_data.resample('D').fillna('nearest')

btc_data

i = btc_data.index[0]

for j in range(len(btc_data.index) -1):

days = (btc_data.index[j + 1] - i).days

if days != 1:

print(i, btc_data.index[j + 1])

i = btc_data.index[j + 1]

# 其他时序数据

X_data = pdr.get_data_yahoo(['TWTR', 'GOOGL', 'AAPL', 'MSFT', 'AMZN', 'FB', 'GOLD'],

start=datetime.datetime(2018, 1, 1),

end=datetime.datetime(2020, 12, 2))['Close']

X_data = X_data.reset_index().drop_duplicates(subset='Date', keep='last').set_index('Date').sort_index()

X_data = X_data.resample('D').fillna('nearest')

data = pd.concat([btc_data, X_data], axis=1)

data.dropna(inplace=True)

data = data.resample('W-Wed').last().astype(np.float32)

np.log(data).plot(figsize=(15, 12))

plt.axvline('2020-10-14', 0, np.max(data['BTC-USD']), lw=2, ls='--', c='red', label='PayPal Impact')

plt.legend(loc='upper left') 由此可见所有数据的一个趋势 3.7.2 2020.10之后的因果发现pre_period=['2018-01-03', '2020-10-14']

post_period=['2020-10-21', '2020-11-25']

ci = CausalImpact(data, pre_period, post_period)

for name, values in ci.model_samples.items():

print(f'{name}: {values.numpy().mean(axis=0)}')

print(ci.summary())

ci.plot()输出结果包括了很多项:observation_noise_scale: 0.35941341519355774

LocalLevel/_level_scale: 0.1552301049232483

SparseLinearRegression/_global_scale_variance: 0.6313358545303345

SparseLinearRegression/_global_scale_noncentered: 0.6133089661598206

SparseLinearRegression/_local_scale_variances: [0.8666718 1.2788342 2.175582 1.7772918 1.6936623 2.0643516 1.7448587]

SparseLinearRegression/_local_scales_noncentered: [0.61409587 0.8949448 0.74149704 0.80299056 0.67724633 1.1268576

0.92428184]

SparseLinearRegression/_weights_noncentered: [0.10180202 0.3333183 0.74480575 0.43592873 0.89282 0.91617614

0.5801898 ]这里可以看到某事件的影响非常迅速 3.7.3 2018-2019的因果发现pre_period=['2018-01-03', '2018-12-05']

post_period=['2018-12-12', '2019-02-06']

ci = CausalImpact(data, pre_period, post_period)

print(ci.summary())

ci.plot()整体来看,2018-2019增长趋势没有跑赢其他时序3.7.4 2018-2019的Tensorflow_Probability 时序分解pre_data = (

ci.normed_pre_data.iloc[:, 0].astype(np.float32) if ci.normed_pre_data is not None else

ci.pre_data.iloc[:, 0].astype(np.float32)

)

one_step_dists = tfp.sts.decompose_by_component(ci.model, pre_data, ci.model_samples)

forecast_dists = tfp.sts.decompose_forecast_by_component(ci.model, ci.posterior_dist, ci.model_samples)

plot_components(ci.pre_data.index.union(ci.post_data.index), one_step_dists, forecast_dists, ci.mu_sig)进行拆分分解:3.7.4 直到2020的statsmodels时序分解from statsmodels.tsa.seasonal import seasonal_decompose

result = seasonal_decompose(btc_data.loc[:'2020-10-14'].iloc[:, 0])

result.plot();3.7.4 2020年定制化模型的因果发现与3.7.2对比,之前用的是贝叶斯结构时序模型,现在换线性:stationary_data = np.log(data['BTC-USD'].loc[:'2020-10-14']).diff()

stationary_data

# 画一下时序的ACF图

from statsmodels.tsa.stattools import pacf

from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_pacf

plot_pacf(stationary_data);

# yule_walker

from statsmodels.regression.linear_model import yule_walker

rho, sigma = yule_walker(stationary_data, 1, method='mle')

print(rho, sigma)

#

import tensorflow_probability as tfp

from causalimpact.misc import standardize

normed_data, mu_sig = standardize(data)

obs_data = normed_data['BTC-USD'].loc[:'2020-10-14'].astype(np.float32)

design_matrix = pd.concat(

[normed_data.loc[pre_period[0]: pre_period[1]], normed_data.loc[post_period[0]: post_period[1]]]

).astype(np.float32).iloc[:, 1:]

linear_level = tfp.sts.LocalLinearTrend(observed_time_series=obs_data)

linear_reg = tfp.sts.LinearRegression(design_matrix=design_matrix)

month_season = tfp.sts.Seasonal(num_seasons=4, num_steps_per_season=1, observed_time_series=obs_data, name='Month')

year_season = tfp.sts.Seasonal(num_seasons=52, observed_time_series=obs_data, name='Year')

model = tfp.sts.Sum([linear_level, linear_reg, month_season, year_season], observed_time_series=obs_data)

# 建模

ci = CausalImpact(data, pre_period, post_period, model=model)

print(ci.summary())

ci.plot()用线性回归替代,可以看到跟之前的趋势雷同发布于 2021-12-25 14:21因果推断机器学习数据分析​赞同 57​​1 条评论​分享​喜欢​收藏​申请转载​文章被以下专栏收录因果推断&案例集锦营销科学中的因

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Construction of Forecast Models based on Bayesian Structural Time Series | IEEE Conference Publication | IEEE Xplore

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A quick intro to bsts

A quick intro to bsts

A quick intro to bsts

Probabilistic programming enables domain experts to build probabilistic reasoning tools in the language of their own domain. This is a contrast to other machine learning approaches, where often require a procrustean effort to reframe a domain-specific problem into the input format of the chosen machine learning method.

The idea is to take domain abstractions and build them in to programmable model components. The programmer can assemble these components like Legos to build a model that addresses decision problems in her domain. Once she connects the components, the inference algorithm is generated automatically, allowing her to prototype models quickly. Since the model is written in the language of the domain, it is easily understood by and shared with others working in the domain (who might not be ML experts).

bsts (stands for Bayesian structural time series, see Scott and Varian (2014)) is an excellent case study from the forecasting domain. bsts is an open source R package from Google. It enables one to assemble a time series model from components familiar to forecasters, namely periodic and seasonal trends, as as regression components that capture correlation between different time series.

Building a model by components

The bsts package contains the initial.claims dataset, which contains a weekly time series of US initial claims for unemployment from Federal Reserve Economic Data.

library(tidyverse, quietly = TRUE)

library(bsts, quietly = TRUE)

data(iclaims)

.data <- initial.claims

claims <- .data$iclaimsNSA

plot(claims, ylab = "")

The mathematical model behind the approach :

Y is the time series you are modeling (insurance claims)

The trend term captures tendency of a time series to move in a particular direction over time.

Seasonal terms capture association with periodic events (calendar seasons, holidays, e.g. Mondays)

Regressors are other time series that are predictive of the time series of interest.

Start with an empty list of model components.

(model_components <- list())

## list()

Add a Trend Component

Next I add a trend component. There are many choices.

?AddAr

?AddAutoAr

?AddLocalLevel

?AddLocalLinearTrend

?AddStudentLocalLinearTrend

?AddGeneralizedLocalLinearTrend

Of many choices available, I choose a local linear trend. One can think of a linear trend as a regression relationship between the time series and time. You expect that for a change in time \(\Delta t\), the response should change by \(\beta_1 * \Delta t\).

The AddLocalLinearTrend function adds the local linear trend component to the component list. The various values of the component are set to their defaults.

summary(model_components <- AddLocalLinearTrend(model_components,

y = claims))

## Length Class Mode

## [1,] 6 LocalLinearTrend list

Add a Seasonal Component

Seasonal components capture periodicity in the data. Choices include;

?AddTrig # Trigonometric seasonal

?AddSeasonal

?AddNamedHolidays

?AddFixedDateHoliday

?AddNthWeekdayInMonthHoliday

?AddLastWeekdayInMonthHoliday

The holiday components are particularly useful in retail forecasting.

I add a weekly seasonal component. A week about 52 weeks. I also add a yearly commponent.

summary(model_components <- AddSeasonal(model_components, y = claims,

nseasons = 52))

## Length Class Mode

## [1,] 6 LocalLinearTrend list

## [2,] 6 Seasonal list

Fitting a model

fit <- bsts(claims, model_components, niter = 2000)

## =-=-=-=-= Iteration 0 Thu Mar 9 17:13:13 2017 =-=-=-=-=

## =-=-=-=-= Iteration 200 Thu Mar 9 17:13:20 2017 =-=-=-=-=

## =-=-=-=-= Iteration 400 Thu Mar 9 17:13:26 2017 =-=-=-=-=

## =-=-=-=-= Iteration 600 Thu Mar 9 17:13:35 2017 =-=-=-=-=

## =-=-=-=-= Iteration 800 Thu Mar 9 17:13:42 2017 =-=-=-=-=

## =-=-=-=-= Iteration 1000 Thu Mar 9 17:13:50 2017 =-=-=-=-=

## =-=-=-=-= Iteration 1200 Thu Mar 9 17:13:57 2017 =-=-=-=-=

## =-=-=-=-= Iteration 1400 Thu Mar 9 17:14:05 2017 =-=-=-=-=

## =-=-=-=-= Iteration 1600 Thu Mar 9 17:14:13 2017 =-=-=-=-=

## =-=-=-=-= Iteration 1800 Thu Mar 9 17:14:20 2017 =-=-=-=-=

Since this is a Bayesian model, the trend and seasonal component parameters are MCMC samples from a posterior. The following visualizes the contributions of each component to the model fit, based on posterior sample means:

burnin <- 500 # Throw away first 500

tibble(

date = as.Date(time(claims)),

trend = colMeans(fit$state.contributions[-(1:burnin),"trend",]),

seasonality = colMeans(fit$state.contributions[-(1:burnin),"seasonal.52.1",])) %>%

gather("component", "value", trend, seasonality) %>%

ggplot(aes(x = date, y= value)) +

geom_line() + theme_bw() +

theme(legend.title = element_blank()) + ylab("") + xlab("") +

facet_grid(component ~ ., scales="free") + guides(colour=FALSE) +

theme(axis.text.x=element_text(angle = -90, hjust = 0))

Prediction with a 90% credible interval

The generic predict method works on the bsts fit. Predictions into the future has credible intervals. Note how quickly they expand as time progresses.

pred <- predict(fit, horizon = 100, burn = burnin, quantiles = c(.05, .95))

plot(pred)

Check Errors

I can plot to see where the true model deviates the most from my fitted model.

errors <- bsts.prediction.errors(fit, burn = 1000)

PlotDynamicDistribution(errors)

## NULL

Adding Regressors to the Model

The dataset also includes time series that correlate strongly with initial claims. bsts will combine the trend and seasonal components with a regression on these other time series.

fit2 <- bsts(iclaimsNSA ~ ., state.specification = model_components,

data = initial.claims, niter = 1000)

## =-=-=-=-= Iteration 0 Thu Mar 9 17:14:43 2017 =-=-=-=-=

## =-=-=-=-= Iteration 100 Thu Mar 9 17:14:46 2017 =-=-=-=-=

## =-=-=-=-= Iteration 200 Thu Mar 9 17:14:50 2017 =-=-=-=-=

## =-=-=-=-= Iteration 300 Thu Mar 9 17:14:53 2017 =-=-=-=-=

## =-=-=-=-= Iteration 400 Thu Mar 9 17:14:57 2017 =-=-=-=-=

## =-=-=-=-= Iteration 500 Thu Mar 9 17:15:00 2017 =-=-=-=-=

## =-=-=-=-= Iteration 600 Thu Mar 9 17:15:04 2017 =-=-=-=-=

## =-=-=-=-= Iteration 700 Thu Mar 9 17:15:08 2017 =-=-=-=-=

## =-=-=-=-= Iteration 800 Thu Mar 9 17:15:11 2017 =-=-=-=-=

## =-=-=-=-= Iteration 900 Thu Mar 9 17:15:15 2017 =-=-=-=-=

We can obtain parameter estimates by again taking the sample mean of the sampled beta values.

colMeans(fit2$coefficients)

## (Intercept) michigan.unemployment

## 0.000000e+00 9.846581e-06

## idaho.unemployment pennsylvania.unemployment

## 1.362501e-01 -3.951598e-04

## unemployment.filing new.jersey.unemployment

## 4.600161e-03 5.138106e-06

## department.of.unemployment illinois.unemployment

## -1.049029e-04 -1.513685e-05

## rhode.island.unemployment unemployment.office

## 7.806800e-05 5.065605e-01

## filing.unemployment

## 3.790764e-04

Conclusion

This basic look demonstrates how a forecaster could use this modeling approach without having to dive into the underlying Bayesian computation. That said, there is much more to dive into with bsts, particularly with setting Bayes-related parameters such as prior probability distributions. More complex data might require a deeper understanding of the model to get a good fit. Even in this case, the fitted model can be shared with forecasting experts, who will understand its structure and interpretation.

Reference

Scott, Steven, and Hal Varian. 2014. “Predicting the Present with Bayesian Structural Time Series” 5. Inderscience Publishers Ltd: 4–23.